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2024-07-02 20:19:43   215人阅读

$\bf命题1：$任何实数都是某个有理数列的极限

证明：设$A$为实数,若$A$为有理数,则令

an=A,n∈N+
<script id="MathJax-Element-1" type="math/tex; mode=display">{a_n} = A,n \in {N_ + }</script>
即可,若$A$为无理数,则令
an=[nA]n,n∈N+
<script id="MathJax-Element-2" type="math/tex; mode=display">{a_n} = \frac{{\left[ {nA} \right]}}{n},n \in {N_ + }</script>
其中${\left[ x \right]}$表示不超过$x$的最大整数,因此${a_n}$都是有理数.而$A$为无理数,则
nA?1<[nA]<nA,n∈N+
<script id="MathJax-Element-3" type="math/tex; mode=display">nA - 1 < \left[ {nA} \right] < nA,n \in {N_ + }</script>即
A?1n<an<A,n∈N+
<script id="MathJax-Element-4" type="math/tex; mode=display">A - \frac{1}{n} < {a_n} < A,n \in {N_ + }</script>从而由夹逼原理即证


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