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最大流（网络流）基础篇（剪辑）
网络流初步总结
查看资料：lrj 《算法竞赛入门经典》
相关概念：
最大流：（Maximum-Flow Problem）
从源点 S 中间经过一些点，一些的物品运送到汇点 t 。
中途每两点间都有个最大运送物品数。
求从 s 到 t 最多能运送多少物品。
容量： 对于一条边 (u,v),它的物品上限（能够运送的物品最大数量）称为容量 （capacity），
记为 c(u,v) (对于不存在的边 (u,v) , c(u,v) = 0)
流量： 实际运送物品数称为流量 （flow）
规定：f(u,v) 和 f(v,u) 最多只有一个正数（可以均为 0），且 f(u,v) = - f(v,u)
PS：此图左边表示实际运送物品，右边表示最大容量。
结论：对于除了 s 和 t 的任意节点 u, ∑ f(u,v) = 0 (有些 f 为负数) 。
(u,v)∈E
最大流问题中： 容量 c 和 流量 f 满足三个性质
容量限制 f(u,v) <= c(u,v)
斜对称：f(u, v) = -f(u,v)
流量平衡：对于除了 s 和 t 的任意节点 u, ∑ f(u,v) = 0 (有些 f 为负数) 。
(u,v)∈E
目标：最大化 | f | = ∑ f(s,v) = ∑ f(u,t) 即从 S 点流出的净流量（=流入 t 点的净流量）
(s,v)∈E , (u,t)∈E
增广路算法：
残量：上图中每条边上的容量差 （称为残余流量，简称残量），
比如说上面第二个图中 V2 到 V4 残量为 14-11 = 3; V4 到 V2 残量为 0-（-11）= 11
算法基于事实：
残量网络中任何一个从 s 到 t 的有向道路都对应一条原图中的增广路【PS：不理解这个名词也没事继续看】。
只要求出该道路中所有残量的最小值 d,把对应的所有边上的流量增加 d 即可，这个过程称为增广。
也就是说只要有从起点 s 到终点 t 的路上存在流量，那么找出最小的残余流量 d
那么这个 d 肯定是满足这条路径的每一条边的，否则找不出这样的 d
那么这条路径上的每一条边的流量增加 d ，总流量增加 d 就好了。
然后继续找，直到找不到为止。
不难证明如果增广前的流量满足 3 个条件，那么增广之后任然满足。
显然只要残量网中存在增广路，流量就可以增大。
逆命题：如果残量网中不存在增广路，则当前流就是最大流，这就是著名的增广路定理。
问题：如何找路径？ DFS ms 很慢，用 BFS
queue<int> q; memset(flow,0,sizeof(flow)); //初始化流量为 0 f = 0; // 初始化总流量为 0 for(;;) //BFS 找增广路 { memset(a,0,sizeof(a)); // a[i]:从起点 s 到 i 的最小残量【每次for()时 a[] 重新清 0 因此同时可做标记数组 vis】 a[s] = INF; //起点残量无线大 q.push(s); //起点入队 while(!q.empty()) // BFS 找增广路 { int u = q.front(); //取队首 q.pop(); // 出队 for(int v = 1; v <= n; v++) if(!a[v] && cap[u][v] > flow[u][v]) //找新节点 v { p[v] = u; q.push(v); //记录 v 的父亲节点,并加入 FIFO 队列 a[v] = min(a[u], cap[u][v]-flow[u][v]); // s-v 路径上的最小残量【从而保证了最后,每条路都满足a[t]】 } } if(a[t] == 0) break; // 找不到，则当前流已经是最大流 【t为终点】 for(int u = t; u != s; u = p[u]) // 从汇点往回走 { flow[p[u]][u] += a[t]; // 更新正向流 flow[u][p[u]] -= a[t]; // 更新反向流 } f += a[t]; // 更新从 S 流出的总流量 }
推荐入门题目：
hdu 3549 Flow Problem【最大流增广路入门模板题】
最大流模板：
const int MAXN=20010;//点数的最大值 const int MAXM=880010;//边数的最大值 const int INF=0x3f3f3f3f; struct Node { int from,to,next; int cap; }edge[MAXM]; int tol; int head[MAXN]; int dep[MAXN]; int gap[MAXN];//gap[x]=y :说明残留网络中dep[i]==x的个数为y int n;//n是总的点的个数，包括源点和汇点 void init() { tol=0; memset(head,-1,sizeof(head)); } void addedge(int u,int v,int w) { edge[tol].from=u; edge[tol].to=v; edge[tol].cap=w; edge[tol].next=head[u]; head[u]=tol++; edge[tol].from=v; edge[tol].to=u; edge[tol].cap=0; edge[tol].next=head[v]; head[v]=tol++; } void BFS(int start,int end) { memset(dep,-1,sizeof(dep)); memset(gap,0,sizeof(gap)); gap[0]=1; int que[MAXN]; int front,rear; front=rear=0; dep[end]=0; que[rear++]=end; while(front!=rear) { int u=que[front++]; if(front==MAXN)front=0; for(int i=head[u];i!=-1;i=edge[i].next) { int v=edge[i].to; if(edge[i].cap!=0||dep[v]!=-1)continue; que[rear++]=v; if(rear==MAXN)rear=0; dep[v]=dep[u]+1; ++gap[dep[v]]; } } } int SAP(int start,int end) { int res=0; BFS(start,end); int cur[MAXN]; int S[MAXN]; int top=0; memcpy(cur,head,sizeof(head)); int u=start; int i; while(dep[start]<n) { if(u==end) { int temp=INF; int inser; for(i=0;i<top;i++) if(temp>edge[S[i]].cap) { temp=edge[S[i]].cap; inser=i; } for(i=0;i<top;i++) { edge[S[i]].cap-=temp; edge[S[i]^1].cap+=temp; } res+=temp; top=inser; u=edge[S[top]].from; } if(u!=end&&gap[dep[u]-1]==0)//出现断层，无增广路 break; for(i=cur[u];i!=-1;i=edge[i].next) if(edge[i].cap!=0&&dep[u]==dep[edge[i].to]+1) break; if(i!=-1) { cur[u]=i; S[top++]=i; u=edge[i].to; } else { int min=n; for(i=head[u];i!=-1;i=edge[i].next) { if(edge[i].cap==0)continue; if(min>dep[edge[i].to]) { min=dep[edge[i].to]; cur[u]=i; } } --gap[dep[u]]; dep[u]=min+1; ++gap[dep[u]]; if(u!=start)u=edge[S[--top]].from; } } return res; }
给边赋值时，养成习惯用加法，防止有重边！
//**************************************************** //最大流模板 //初始化：g[][],start,end //****************************************************** const int MAXN=110; const int INF=0x3fffffff; int g[MAXN][MAXN];//存边的容量，没有边的初始化为0 int path[MAXN],flow[MAXN],start,end; int n;//点的个数，编号0-n.n包括了源点和汇点。 queue<int>q; int bfs() { int i,t; while(!q.empty())q.pop();//把清空队列 memset(path,-1,sizeof(path));//每次搜索前都把路径初始化成-1 path[start]=0; flow[start]=INF;//源点可以有无穷的流流进 q.push(start); while(!q.empty()) { t=q.front(); q.pop(); if(t==end)break; //枚举所有的点，如果点的编号起始点有变化可以改这里 for(i=0;i<=n;i++) { if(i!=start&&path[i]==-1&&g[t][i]) { flow[i]=flow[t]<g[t][i]?flow[t]:g[t][i]; q.push(i); path[i]=t; } } } if(path[end]==-1)return -1;//即找不到汇点上去了。找不到增广路径了 return flow[end]; } int Edmonds_Karp() { int max_flow=0; int step,now,pre; while((step=bfs())!=-1) { max_flow+=step; now=end; while(now!=start) { pre=path[now]; g[pre][now]-=step; g[now][pre]+=step; now=pre; } } return max_flow; }