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【模拟题(电子科大MaxKU)】解题报告
目录：
1：一道简单题【树形问题】(Bzoj 1827 奶牛大集会)
2：一道更简单题【矩阵乘法】【快速幂】
3：最简单题【技巧】
话说这些题目的名字也是够了。。。。
题目：
1、一道简单题
时间1s
题目描述
Bessie正在计划一年一度的奶牛大集会，来自全国各地的奶牛将来参加这一次集会。当然，她会选择最方便的地点来举办这次集会。每个奶牛居住在 N(1<=N<=100,000) 个农场中的一个，这些农场由N-1条道路连接，并且从任意一个农场都能够到达另外一个农场。道路i连接农场A_i和B_i(1 <= A_i <=N; 1 <= B_i <= N),长度为L_i(1 <= L_i <= 1,000)。集会可以在N个农场中的任意一个举行。另外，每个牛棚中居住着C_i(0 <= C_i <= 1,000)只奶牛。在选择集会的地点的时候，Bessie希望最大化方便的程度(也就是最小化不方便程度)。比如选择第X个农场作为集会地点，它的不方便程度是其它牛棚中每只奶牛去参加集会所走的路程之和，(比如，农场i到达农场X的距离是20，那么总路程就是C_i*20)。帮助Bessie找出最方便的地点来举行大集会。
输入
第一行：一个整数N
第二到N+1行：第i+1行有一个整数C_i
第N+2行到2*N行，第i+N+1行为3个整数：A_i,B_i和L_i。
输出
一个数字表示答案
样例
Input | Output |
5 | 15 |
对于
20%数据n<20
50%数据 n<2000
100%数据n<100,000
2、一道更简单题
时间1s
描述
有n个数围成一圈，每次操作后每个数变成和他距离在d以内的数字之和，求k次操作后每个数字模1000000007分别是多少有n个数围成一圈，每次操作后每个数变成和他距离在d以内的数字之和，求k次操作后每个数字模1000000007分别是多少
输入
第一行三个数n, d, k (1 ≤ n ≤ 1000, 0 ≤ d < n / 2 , 1 ≤ k ≤ 100 000 000),
第二行有n个正数，每个的大小都在int范围内
输出
一行n个数，空格隔开，表示结果。
样例
Input | Ouput |
5 1 1 1 2 10 3 6
| 9 13 15 19 10
|
10%数据满足n*k<10^6
30%数据满足 n<=100
50%数据满足 n<=500
100%数据满足n<=1000
3、最简单的题
时间1s
题目描述
给出正整数n和k，计算j(n, k)=k mod 1 + k mod 2 + k mod 3 + … + k mod n的值，其中k mod i表示k除以i的余数。
例如j(5, 3)=3 mod 1 + 3 mod 2 + 3 mod 3 + 3 mod 4 + 3 mod 5=0+1+0+3+3=7
输入
第一行2个数n,k。
输出
一个数 j(n,k)。
样例
Input | Output |
5 3 | 7
|
50% 数据 满足 n<1e6
100%数据 满足 n<1e12 k<=n
解题报告：
第一题：参考Regina8023（CSDN）的思路解释：
发现这些农场构成了一棵树。
所以首先以任意一个点为根建树，并把这个点当做目标点。
那么最终的答案就是每条树边乘有几头牛要走，一条边有几头牛要走其实就是这条边下面有几个子孙。
于是我们预处理出以1为根的树的答案，并求出每个节点有几个子孙，然后O(1)转移到他的儿子的答案，这个儿子又可以O(1)转移到他自己的儿子。。。
因此我们用O(n)时间就求出以每个点为目的地的路程和，输出最小即可。
转移方法是：
根变成儿子的时候，只有连接儿子的边要变化，根据预处理出的每个节点的儿子，即可转移。
1 #include<iostream> 2 #include<cstdio> 3 #include<cstring> 4 #include<string> 5 #define LL long long 6 using namespace std; 7 const int maxn=100005; 8 LL n,ans=1e15,sum,c[maxn]; 9 LL he[maxn],ne[maxn*2],to[maxn*2],w[maxn*2],tot;10 LL f[maxn],cost[maxn],num[maxn],len[maxn];11 void add(LL a,LL b ,LL x)12 {13 tot++;14 ne[tot]=he[a];15 w[tot]=x;16 to[tot]=b;17 he[a]=tot;18 }19 void ready(LL x ,LL fa)//当前节点x，它的father fa 20 {21 for (LL i=he[x];i;i=ne[i])22 if (to[i]!=fa)//!!! 防止原路返回 23 {24 len[to[i]]=len[x]+w[i];25 ready(to[i],x);//从上到下 26 cost[x]+=cost[to[i]];//从x到根节点(包括它的所有儿子)的总路程 27 num[x]+=num[to[i]];//从x向下的所有奶牛数 28 }29 cost[x]+=len[x]*c[x];//加上自己 30 num[x]+=c[x];31 }32 void dfs(LL x,LL fa)33 {34 for (LL i=he[x];i;i=ne[i])35 if (to[i]!=fa)36 {37 f[to[i]]=f[x]+(sum-num[to[i]])*w[i]-num[to[i]]*w[i];38 //将集合地点向下移，用O(1)算它的总路程 39 dfs(to[i],x); 40 }41 }42 int main()43 {44 freopen("A.in","r",stdin);45 freopen("A.out","w",stdout);46 cin>>n;47 for (LL i=1;i<=n;i++)48 {49 scanf("%I64d",&c[i]);50 sum+=c[i];51 }52 for (LL i=1;i<n;i++)// < n not <=n 53 {54 LL a,b,x;55 scanf("%I64d%I64d%I64d",&a,&b,&x);56 add(a,b,x);57 add(b,a,x);58 }59 ready(1,0);//预处理任意根节点的一棵树 60 f[1]=cost[1];61 dfs(1,0);62 for (LL i=1;i<=n;i++)63 {64 if (f[i]<ans)65 ans=f[i];66 } 67 cout<<ans;68 return 0;69 }
第二题：如果纯模拟的话，按理说可以得10分，但是我的纯模拟怎么一分都没有。这道题要用矩阵乘法+快速幂。具体的推导方法是这样的：
首先，我们从一个点的多次修改得到系数：
如 a0,a1,a2,a3,a4
第一次：a0=a0+a1+a4 第二次：a0=3*a0+2*a1+2*a4+a2+a3第三次：a0=7*a0+6*a1+6*a4+4*a2+4*a3
a1=a0+a1+a2 a1=3*a1+2*a0+2*a2+a3+a4 ......
a2=a1+a2+a3 a2=3*a2+2*a3+2*a1+a4+a0 ......
...... ......
按照a0~a4提取出它们的系数：1*a0 1*a1 0*a2 0*a3 1*a4
3*a0 2*a1 1*a2 1*a3 2*a4
7*a0 6*a1 4*a2 4*a3 6*a4
所以我们想到了矩阵相乘用 1 1 0 0 1 a0 a0+a1+a4
1 1 1 0 0 a1 a0+a1+a2
0 1 1 1 0 * a2 = a1+a2+a3
0 0 1 1 1 a3 a2+a3+a4
1 0 0 1 1 a4 a3+a4+a1
如果k>1的话，就要再用新的数列重复以上操作，所以，运用矩阵乘法的结合律，我们可以用快速幂求解。
又发现左边矩阵很有规律，所以可以简化为一维数组，具体的解释和注意在代码中了。
1 #include<iostream> 2 #include<cstdio> 3 #include<cstring> 4 #define LL long long 5 using namespace std; 6 const LL INF=1000000007; 7 const LL maxn=1005; 8 LL n,d,k; 9 LL num[maxn],tmp[maxn];10 void cheng(LL a[],LL b[])//a num ,b tmp11 {12 LL c[maxn];13 memset(c,0,sizeof(c));//局部变量 c 初值随机，需要重定为 0 14 for (LL i=0;i<n;i++)//c[0]=a0*b0+a1*b1+a2*b2+a3*b3+a4*b415 for (LL j=0;j<n;j++)//c[1]=a0*b4+a1*b0+a2*b1+a*b2+a4*b316 {17 if (i>j) c[i]=(c[i]+a[j]*b[n+j-i])%INF;//发现当i>j时，b取b[n+j-i] 18 else19 c[i]=(c[i]+a[j]*b[j-i])%INF;//当i<=j时，b取 b[j-i]20 }21 for (LL i=0;i<n;i++)22 a[i]=c[i]%INF;23 }24 int main()25 {26 freopen("B.in","r",stdin);27 freopen("B.out","w",stdout);28 cin>>n>>d>>k;29 for (LL i=0;i<n;i++)30 scanf("%d",&num[i]);31 tmp[0]=1;32 for (LL i=1;i<=d;i++)33 tmp[i]=tmp[n-i]=1;34 while (k>0)35 {36 if (k&1) cheng(num,tmp);37 k=k>>1;38 cheng(tmp,tmp);39 }40 for (LL i=0;i<n;i++)41 printf("%I64d ",num[i]);42 return 0;43 }
第三题：主要是打表找规律，比如从n=100,k=100打表出100/(1~100)=x.....y 从中找到规律：
100/(51~100)=1....(0、1~48、49)
100/(34~50)=2......(0、2~30、32)
100/(26~33)=3......(1,4~19,22)
100/(21~25)=4......(0,4,~12,16)
100/(17~20)=5......(0,5,10,15)
100/(15,16)=6......(4,10)
.......
从100/12 开始余只有一个。所以从1~12就循环求解。另外，当n>k时，直接余数=k 加上去就可以了。
1 #include<iostream> 2 #include<cstdio> 3 #define LL long long 4 using namespace std; 5 LL n,k; 6 LL ans; 7 int main() 8 { 9 freopen("C.in","r",stdin);10 freopen("C.out","w",stdout);11 cin>>n>>k;12 if (n>k)13 {14 ans+=(n-k)*k;15 n=k;16 }17 LL l,x,d,next,r;18 for (LL i=n;i>=1;i=next)19 {20 d=k/i;//等差值 21 l=k%i;//a(1) 22 next=k/(d+1);//下一个区间的右边界 23 x=i-next;//区间个数 n24 r=k%(next+1);//a(n) 25 if (l==r) break;26 else27 //S(n)=n*a(1)+( n*(n-1)/2 )*d28 ans+=x*l+(x*(x-1)/2)*d;29 }30 for (LL i=1;i<=next+1;i++)31 ans+=k%i;32 cout<<ans;33 return 0;34 }
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