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$\bf命题1:$设$A,B$实对称且$A$正定,则$AB$相似于对角阵

方法一:由$A$正定知,存在正定阵$C$,使得$A = {C^2}$,于是
\[AB = {C^2}B = C\left( {CBC} \right){C^{ - 1}}\]
由$C$实对称知$CBC$实对称,则存在正交阵$Q$,使得
\[{Q^{ - 1}}\left( {CBC} \right)Q = diag\left( {{\lambda _1}, \cdots {\lambda _n}} \right)\]
从而可知结论成立