讲两个遇到的题。

1. $f\left( x \right)$ 在 $\left[ {0,\infty } \right)$ 上一致连续，$\forall x > 0,\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } f\left( {x + n} \right) = 0$ ，证明：$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f\left( x \right) = 0$

2. $f\left( x \right)$ 在 $\left[ {0,\infty } \right)$ 上连续，$\forall x > 0,\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } f\left( {nx} \right) = 0$ ，证明：$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } f\left( x \right) = 0$

作为条件的两个极限过程都是逐点的，而要证明的东西是全局的。先看第一个，好歹一致连续的条件强一些。

困难之处在于虽然对每一个 $x>0$ ，可以找到一个 ${N_\varepsilon }\left( x \right)$ 使得 $\left| {f\left( {x + n} \right)} \right| < \varepsilon  \Leftarrow n > {N_\varepsilon }\left( x \right)$

但是这里的大N取决于具体的 x ，是否能有一个一致的 ${N_\varepsilon } = \mathop {\sup }\limits_{0 < x \leqslant 1} {N_\varepsilon }\left( x \right)$ ，也即右侧的上确界是否存在，并不能直接看出。

想要从逐点条件变为局部条件甚至全局条件，这个问题总会是一个需要跨过去的坎，这时候就希望有一个类似于有限覆盖定理的东西能帮我们绕过去。

（逐点对应一个开集，全体开集若能覆盖一个紧集，则有限个开集可以覆盖住这个紧集，这样问题就集中到这有限个点了，当然这也就要求考虑的空间要有紧性）

对这个问题要用上一致连续的条件，实际上问题可以放到 $\left[ {0,1} \right)$ 上看，因为 x 的整数部分可以归结为 x+n 的 n 里去，而 x 的小数部分虽然是无穷多个取值，由一致连续性，可以对 $\left[ {0,1} \right)$ 足够多的等分用分点来逼近，也即考虑 k 等分 ${x_i} = \frac{i}{k}\left( {i = 1,2,...,k} \right)$ 使得

\[\left| {x - \left( {\left[ x \right] + {x_i}} \right)} \right| = \left| {\left\{ x \right\} - {x_i}} \right| < \frac{1}{k} < \delta  \Rightarrow \left| {f\left( x \right) - f\left( {\left[ x \right] + {x_i}} \right)} \right| < \varepsilon \]

从而