熵

熵是表示随机变量不确定性的度量，设X是一个取有限个值的离散随机变量，其概率分布为

则随机变量X的熵定义为 若对数以2为底或以e为底，这时熵的单位分别称为比特或纳特。熵只依赖与X的分布，而与X的取值无关，所以也可将X的熵记作。熵越大，随机变量的不确定性越大。

若一个随机变量只有两个值，那么当X的分别为为P(x1)=P(x2)=0.5的时候，熵最大，变量也最不确定。

条件熵

设有随机变量（X,Y），其联合概率分布为 条件熵H（Y|X）表示在已知随机变量X的条件下随机变量Y的不确定性。随机变量X给定的条件下随机变量Y的条件熵H(Y|X),定义为X给定条件下，Y的条件概率分布的熵对X的数学期望

这里，

这里注意，这个条件熵，不是指的，即不是指在给定某个数（某个变量为某个值）的情况下，另一个变量的熵是多少，变量的不确定性是多少？不是这样的，条件熵中X也是一个变量，意思是在一个变量X的条件下（变量X的每个值都会取），另一个变量Y熵对X的期望。

举个例子：

一颗小花开花或不开花是一个随机事件，用随机变量X表示。现有一些样本X={开 开 开 开 开 开 开 开 开 不 不 不 不 不 }

可以估计P（X=开）=9/14  P(X=不)=5/14

那么X的熵为-（9/14）log（9/14  ） -（5/14）log（5/14  ）

现在还有一个变量时Y，是一个天气的变量（晴 阴 雨），且P(晴)=5/14  P（阴）=4/14  P(雨)=5/14，

并且我们有在天气的条件下，小花开花的情况（也就是按天气这个条件，对小花的开花情况分类）：

我们也就有了在Y情况下，X的概率分布。于是，我们就有了H（Y|X）=

其实条件熵意思是按一个新的变量的每个值对原变量进行分类，比如上面这个题把开 不 按晴阴雨分成了三类，然后在每一个小类里面，都计算一个小熵，然后每一个小熵乘以各个类别的概率，然后求和。我们用另一个变量对原变量分类后，原变量的不确定性就会减小了，因为新增了Y的信息，可以感受一下。不确定程度减少了多少就是信息的增益。

熵与条件熵