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Codeforces 460 D Little Victor and Set (构造)
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构造的好题。表示是看了题解才会做的。
假如[l,r]长度不超过4,直接暴力就行了。
假如[l,r]长度大于等于5,那么如果k = 1,显然答案应该是l;如果k=2,可以找到a^(a+1)=1;如果k=3,首先只取两个就得到一个下界为1,但是可能出现为0的情况,下面再仔细讨论。如果k>=4,可以找到两组a^(a + 1) = 1,所以答案是0。
现在剩下的问题就是如何判断k=3的情况答案能否为0了。答案为0时我们只有可能取了3个数,设它们为x,y,z,并且不妨设有l <= z < y < x <= r。
我们考虑x的最高位非零位。这一位y必须是1,z必须是0,因为y > z并且它们的异或和为0。考虑接下来一位,假如z的这一位为0,我们可以将x,y的上一位变为0,这一位都变为1。注意到x,y,z仍然是满足条件的,因为x变小了,而z变大了,而x > y > z依然满足。最后,我们发现z的第一个非零位。我们将z后面的位全部填为1,x,y的前一位都为1,当前位x必为1,y必为0,后面我们将x全部填为0,y全部填为1。显然,x不会变大,z不会变小,并且x > y > z仍然满足。于是当且仅当存在这样构造的x,y,z时我们能够找到一组符合题意的x,y,z。我们注意到z = 2^k - 1,于是直接枚举z就行了。
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