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数论 - Miller_Rabin素数测试 + pollard_rho算法分解质因数 ---- poj 1811 : Prime Test
Prime Test
| Time Limit: 6000MS | Memory Limit: 65536K | |
| Total Submissions: 29046 | Accepted: 7342 | |
| Case Time Limit: 4000MS | ||
Description
Given a big integer number, you are required to find out whether it‘s a prime number.
Input
The first line contains the number of test cases T (1 <= T <= 20 ), then the following T lines each contains an integer number N (2 <= N < 254).
Output
For each test case, if N is a prime number, output a line containing the word "Prime", otherwise, output a line containing the smallest prime factor of N.
Sample Input
2510
Sample Output
Prime2
Source
POJ Monthly
Mean:
略。
analyse:
输入的n很大，我们不可能再用筛法来求素数，这时Miller_Rabin算法就显得尤为重要。
若n不是素数，需要进行质因数分解，同样的问题，n很大，我们不可能用试除法来进行质因数分解，那样必会tle。这时就必须使用pollard_rho算法来进行质因数分解。
其实Miller_Rabin算法和pollard_rho算法很多时候是组合在一起用的。
Time complexity：O(n) 一般情况下是O(n)
Source code：
//Memory Time// 1347K 0MS// by : Snarl_jsb#include<algorithm>#include<cstdio>#include<cstring>#include<cstdlib>#include<iostream>#include<vector>#include<queue>#include<stack>#include<map>#include<string>#include<climits>#include<cmath>#define N 1000010#define LL long longusing namespace std;//****************************************************************// Miller_Rabin 算法进行素数测试//速度快，而且可以判断 <2^63的数//****************************************************************const int S=20; //随机算法判定次数，S越大，判错概率越小//计算 (a*b)%c. a,b都是long long的数，直接相乘可能溢出的// a,b,c <2^63long long mult_mod(long long a,long long b,long long c){ a%=c; b%=c; long long ret=0; while(b) { if(b&1){ret+=a;ret%=c;} a<<=1; if(a>=c)a%=c; b>>=1; } return ret;}//计算 x^n %clong long pow_mod(long long x,long long n,long long mod)//x^n%c{ if(n==1)return x%mod; x%=mod; long long tmp=x; long long ret=1; while(n) { if(n&1) ret=mult_mod(ret,tmp,mod); tmp=mult_mod(tmp,tmp,mod); n>>=1; } return ret;}//以a为基,n-1=x*2^t a^(n-1)=1(mod n) 验证n是不是合数//一定是合数返回true,不一定返回falsebool check(long long a,long long n,long long x,long long t){ long long ret=pow_mod(a,x,n); long long last=ret; for(int i=1;i<=t;i++) { ret=mult_mod(ret,ret,n); if(ret==1&&last!=1&&last!=n-1) return true;//合数 last=ret; } if(ret!=1) return true; return false;}// Miller_Rabin()算法素数判定//是素数返回true.(可能是伪素数，但概率极小)//合数返回false;bool Miller_Rabin(long long n){ if(n<2)return false; if(n==2)return true; if((n&1)==0) return false;//偶数 long long x=n-1; long long t=0; while((x&1)==0){x>>=1;t++;} for(int i=0;i<S;i++) { long long a=rand()%(n-1)+1;//rand()需要stdlib.h头文件 if(check(a,n,x,t)) return false;//合数 } return true;}//************************************************//pollard_rho 算法进行质因数分解//************************************************long long factor[100];//质因数分解结果（刚返回时是无序的）int tol;//质因数的个数。数组小标从0开始long long gcd(long long a,long long b){ if(a==0)return 1; if(a<0) return gcd(-a,b); while(b) { long long t=a%b; a=b; b=t; } return a;}long long Pollard_rho(long long x,long long c){ long long i=1,k=2; long long x0=rand()%x; long long y=x0; while(1) { i++; x0=(mult_mod(x0,x0,x)+c)%x; long long d=gcd(y-x0,x); if(d!=1&&d!=x) return d; if(y==x0) return x; if(i==k){y=x0;k+=k;} }}//对n进行素因子分解void findfac(long long n){ if(Miller_Rabin(n))//素数 { factor[tol++]=n; return; } long long p=n; while(p>=n)p=Pollard_rho(p,rand()%(n-1)+1); findfac(p); findfac(n/p);}int main(){ //srand(time(NULL));//需要time.h头文件//POJ上G++不能加这句话 long long n; long long t; cin>>t; while(t--) { scanf("%I64d",&n); if(n==1) continue; if(Miller_Rabin(n))printf("Prime\n"); else { tol=0; findfac(n); long long minn=INT_MAX; for(int i=0;i<tol;i++) { if(factor[i]<minn) { minn=factor[i]; } } printf("%I64d\n",minn); } } return 0;}
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