这里先将二进制的计算可以分为两类，加减运算与乘除运算，本篇讨论的是加减运算。

（一）预备知识——数据在计算机的存储与表示

从一个问题入手：java中byte(1字节，8位)的取值范围为：-2^7<=取值范围<=2^7-1，或者写成-128<=取值范围<=127，为什么呢？

疑问：按照我们一般认为，如果8位中一位作为符号，那么应该是11111111<=取值范围<=01111111，或者写成-127<=取值范围<=127，-128从何而来？

首先从原码讲起，原码即为计算机中对数值的二进制表示，如 5用二进制表示为0000 0101 ；

其次就是反码，顾名思义就是取反，对于正数来说，反码与原码相同；对于负数来说，反码为原码的各位取反（符号位除外），如（0011 0111）反= 0011 0111  （1101 0010）反= 1010 1101 ；

再次就是补码，计算机中，数值一律用补码表示和存储的，正数的补码与原码相同，负数的补码为“其反码+1”，如（0101 1101）补=0101 1101  （1101 0010）补=1010 1110

关于补码，我们做进一步解释：

 （1）化减为加：

由于计算中的CPU只有加法器，没有减法器，所以在计算机采用原码做减法是会存在这样的问题：对于1-1=0

看做1+（-1）=0 二进制表示 0001+1001=1001 变成了十进制的负1而不是0。补码的出现很好的解决了这个问题，由于采用补码运算，则补码加法成为：[X+Y]补 = [X]补 + [Y]补同时，补码的减法变为：[X-Y]补 = [X]补 - [Y]补 = [X]补 + [-Y]补 ；在此我们以减法为例说明补码的优势，还以上述为题为例：（0001）补+（1001）补 = 0001 + 1111 = 0000 （最高位的进位省略），这样就顺利得到了0

 （2）10000000与00000000都是零吗？——关于-128的由来

补码还解决了原码中存在两个0 的问题（即+0 和 -0），以8进制为例，java中byte的取值范围应该是-127~ -0和+0~ 127 即存在-0和+0 ，但是在两个0转换为补码后，分别为10000000和00000000,00000000它还是0，但是我们人为地规定10000000表示-128，这就是上面取值范围中-128的由来。这里再强调一下，10000000和00000000都是补码，而不是原码。

（3）一开始的问题，我们得出了“符合逻辑”的疑问，这个问题又出在哪？

其实问题出在，我们一直在用原码在看问题，而不是补码。这里先举一个我再微博中说过的例子，形象地说明一下什么是补码：

“时钟的例子：0时和6时差（10-6）=4时（顺时针），但是你也可以这样写（10+6）-12=4时（逆时针），后一个式子中的6就是“补码”，12表示“定长”，减12表示“溢出”。“定长”和“溢出”也是“化减为加”的关键。这是一个从高维空间看低维空间而变得更加简洁的典型。”

我们再用一个实际的例子说明一下如何用“高维看低维”：

类比时钟的例子，我们将表中的补码稍微转换一下位置，写在一维数轴上，再将数轴收尾相连，就形成了一个新的“时钟圆盘”。

那么我们来试试一个例子：3-1=（011-001）原码运算=（011+111）补码运算=010=2

也就是说我们可以写成3-1=2（顺时针运算），也可以写3+7-8=2（逆时针运算）

这就是用超时空理论，从高维去看地位的一种解释方法。

（二）加减法运算

（1）原码到补码的转化：符号位是要单独提取出来的，不参与“取反加一”。如：

（10000000）原转化为补码：

a.将0000000取反加一后，等于10000000

b.因为a得到的超过了七位，去掉a中10000000的1，再将题目中1给不上去。这里强调的是题目中的1和a中的1是不同的。

（2）补码的运算是连同符号位一起运算的。这里顺便提一下，二进制乘法的运算符号跟十进制乘法一样，符号位另算。

二进制的计算（计算机为什么采用补码存储数据）