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约瑟夫环问题

约瑟夫环问题:一圈共有N个人,开始报数,报到M的人自杀,然后重新开始报数,问最后自杀的人是谁?


如图:内环表示人排列的环,外环表示自杀顺序;上面N=41,M=3。

最普通办法就是模拟整个过程:建一个bool数组,true表示此人还活着,false表示已经自杀。可以模拟整个过程

#include<iostream>
using namespace std;
int main()
{
	int N;//人的总个数
	int M;//间隔多少个人

	cin>>N;
	cin>>M;

	bool *p=new bool[N+1];//[1……N]为true表示此人还活着
	for (int i=1; i <= N; i++)
		*(p+i)=true;
	
	int count=0;//统计自杀的人数

	for (int i=1, j=0; ;i++)//i用来表示循环,j用来计算是不是第N个人
	{
		if (*(p+i))//此人还活着
		{
			j++;
			if (j == M)
			{
				*(p+i)=false;
				j=0;
				count++;//统计自杀的人
			}
			if (count == N)
			{
				cout<<"最后自杀的人是:"<<i<<endl;
				break;
			}
		}

		if(i == N)
			i=0;
	}

	delete []p;
	
	return 0;
}


模拟整个过程,复杂度为O(NM)。可以用数学方法来求解:

把问题重新描述一下:N个人(编号0~(N-1)),从0开始报数,报到(M-1)的自杀,剩下的人继续从0开始报数。求最后自杀者的编号。

N个人编号如下:


第一个自杀的人是(M-1)%N,例如上图中,41个人中,报道3的人自杀,则字一个自杀的人的编号是(3-1)%41=2。编号(M-1)%N自杀后,剩下的人排列如下:


有人自杀后,下一个位置M又从零开始报数,因此环应该如下:

将上面的排列顺序重新编号:


问题变为(N-1)个人,报道为(M-1)的人自杀,问题规模减小了。这样一直进行下去,最后剩下编号为0的人。用函数表示:

F(1)=0

当有2个人的时候(N=2),报道(M-1)的人自杀,最后自杀的人是谁?应该是在只有一个人时,报数时得到的最后自杀的序号加上M,因为报到M-1的人已经自杀,只剩下2个人,另一个自杀者就是最后自杀者,用函数表示:

F(2)=F(1)+M

可以得到递推公式:

F(i)=F(i-1)+M

因为可能会超出总人数范围,所以要求模

F(i)=(F(i-1)+M)%i

有了递推公式就可以在O(N)时间求出结果:

#include<iostream>
using namespace std;
int main()
{
	int N;//人的总个数
	int M;//间隔多少个人

	cin>>N;
	cin>>M;
	int result=0;//N=1情况
	for (int i=2; i<=N; i++)
	{
		result=(result+M)%i;
	}
	cout<<"最后自杀的人是:"<<result+1<<endl;//result要加1
	return 0;
}





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