算法时间复杂度的计算 [整理]

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基本的计算步骤 

时间复杂度的定义 
    一般情况下，算法中基本操作重复执行的次数是问题规模n的某个函数，用T(n)表示，若有某个辅助函数f(n)，使得当n趋近于无穷大时，T(n)/f(n)的极限值为不等于零的常数，则称f(n)是T(n)的同数量级函数。记作T(n)=O(f(n))，称O(f(n))为算法的渐进时间复杂度(O是数量级的符号 )，简称时间复杂度。

根据定义，可以归纳出基本的计算步骤 
1. 计算出基本操作的执行次数T(n) 
    基本操作即算法中的每条语句（以;号作为分割），语句的执行次数也叫做语句的频度。在做算法分析时，一般默认为考虑最坏的情况。

2. 计算出T(n)的数量级 
    求T(n)的数量级，只要将T(n)进行如下一些操作：
    忽略常量、低次幂和最高次幂的系数

    令f(n)=T(n)的数量级。

3. 用大O来表示时间复杂度 
    当n趋近于无穷大时，如果lim(T(n)/f(n))的值为不等于0的常数，则称f(n)是T(n)的同数量级函数。记作T(n)=O(f(n))。

一个示例： 
(1) int num1, num2;
(2) for(int i=0; i<n; i++){ 
(3)     num1 += 1;
(4)     for(int j=1; j<=n; j*=2){ 
(5)         num2 += num1;
(6)     }
(7) } 

分析：
1.
语句int num1, num2;的频度为1；
语句i=0;的频度为1；
语句i<n; i++; num1+=1; j=1; 的频度为n；4条
语句j<=n; j*=2; num2+=num1;的频度为n*log₂n；3条
T(n) = 2 + 4n + 3n*log₂n

2.
忽略掉T(n)中的常量、低次幂和最高次幂的系数
f(n) = n*log₂n

3.
lim(T(n)/f(n)) = (2+4n+3n*log₂n) / (n*log₂n)
                     = 2*(1/n)*(1/log₂n) + 4*(1/log₂n) + 3

当n趋向于无穷大，1/n趋向于0，1/log₂n趋向于0
所以极限等于3。

T(n) = O(n*log₂n)

简化的计算步骤 

再来分析一下，可以看出，决定算法复杂度的是执行次数最多的语句，这里是num2 += num1，一般也是最内循环的语句。

并且，通常将求解极限是否为常量也省略掉？

于是，以上步骤可以简化为： 
1. 找到执行次数最多的语句 
2. 计算语句执行次数的数量级
3. 用大O来表示结果 

继续以上述算法为例，进行分析：
1.
执行次数最多的语句为num2 += num1

2.
T(n) = n*log₂n
f(n) = n*log₂n

3.
// lim(T(n)/f(n)) = 1
T(n) = O(n*log₂n)

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一些补充说明 
最坏时间复杂度 
    算法的时间复杂度不仅与语句频度有关，还与问题规模及输入实例中各元素的取值有关。一般不特别说明，讨论的时间复杂度均是最坏情况下的时间复杂度。这就保证了算法的运行时间不会比任何更长。

求数量级 
即求对数值(log)，默认底数为10，简单来说就是“一个数用标准科学计数法表示后，10的指数”。例如，5000=5x10 3 (log5000=3) ，数量级为3。另外，一个未知数的数量级为其最接近的数量级，即最大可能的数量级。

求极限的技巧 
要利用好1/n。当n趋于无穷大时，1/n趋向于0 

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一些规则(引自：时间复杂度计算 ) 
1) 加法规则 
T(n,m) = T1(n) + T2(n) = O (max ( f(n), g(m) )

2) 乘法规则 
T(n,m) = T1(n) * T2(m) = O (f(n) * g(m))

3) 一个特例（问题规模为常量的时间复杂度） 
在大O表示法里面有一个特例，如果T1(n) ＝ O(c)， c是一个与n无关的任意常数，T2(n) = O ( f(n) ) 则有
T(n) = T1(n) * T2(n) = O ( c*f(n) ) = O( f(n) )

也就是说，在大O表示法中，任何非0正常数都属于同一数量级，记为O(1)。

4) 一个经验规则 
复杂度与时间效率的关系：
c < log₂n < n < n*log₂n < n² < n³ < 2ⁿ < 3ⁿ < n! （c是一个常量）
|--------------------------|--------------------------|-------------|
          较好                     一般              较差
其中c是一个常量，如果一个算法的复杂度为c 、 log₂n 、n 、 n*log₂n,那么这个算法时间效率比较高 ，如果是 2ⁿ , 3ⁿ ,n!,那么稍微大一些的n就会令这个算法不能动了，居于中间的几个则差强人意。

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复杂情况的分析 

以上都是对于单个嵌套循环的情况进行分析，但实际上还可能有其他的情况，下面将例举说明。

1.并列循环的复杂度分析 
将各个嵌套循环的时间复杂度相加。

例如：

　　for (i=1; i<=n; i++)
　　    x++;

　　for (i=1; i<=n; i++)
　　    for (j=1; j<=n; j++)
　　        x++;

解：
第一个for循环
T(n) = n
f(n) = n
时间复杂度为Ο(n)

第二个for循环
T(n) = n²
f(n) = n²
时间复杂度为Ο(n²)

整个算法的时间复杂度为Ο(n+n²) = Ο(n²)。

2.函数调用的复杂度分析 
例如：
public void printsum(int count){
    int sum = 1;
    for(int i= 0; i<n; i++){
       sum += i;
    }   
    System.out.print(sum);
}

分析：
记住，只有可运行的语句才会增加时间复杂度，因此，上面方法里的内容除了循环之外，其余的可运行语句的复杂度都是O(1)。
所以printsum的时间复杂度 = for的O(n)+O(1) = 忽略常量 = O(n)

*这里其实可以运用公式 num = n*(n+1)/2，对算法进行优化，改为：
public void printsum(int count){
    int sum = 1;
    sum = count * (count+1)/2;   
    System.out.print(sum);
}
这样算法的时间复杂度将由原来的O(n)降为O(1)，大大地提高了算法的性能。 

3.混合情况（多个方法调用与循环）的复杂度分析 
例如：
public void suixiangMethod(int n){
    printsum(n);//1.1
    for(int i= 0; i<n; i++){
       printsum(n); //1.2
    }
    for(int i= 0; i<n; i++){
       for(int k=0; k<n; k++){
        System.out.print(i,k); //1.3
      }
  }
suixiangMethod 方法的时间复杂度需要计算方法体的各个成员的复杂度。
也就是1.1+1.2+1.3 = O(1)+O(n)+O(n²) ----> 忽略常数 和 非主要项 == O(n²)

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更多的例子 

O(1) 
交换i和j的内容
temp=i;
i=j;
j=temp;                    

以上三条单个语句的频度为1，该程序段的执行时间是一个与问题规模n无关的常数。算法的时间复杂度为常数阶，记作T(n)=O(1)。如果算法的执行时间不随着问题规模n的增加而增长，即使算法中有上千条语句，其执行时间也不过是一个较大的常数。此类算法的时间复杂度是O(1)。

O(n²) 
    sum=0；                /* 执行次数1 */
    for(i=1;i<=n;i++)      
       for(j=1;j<=n;j++) 
         sum++；       /* 执行次数n² */
解：T(n) = 1 + n² = O(n²)


   for (i=1;i<n;i++)
   { 
       y=y+1;        ①   
       for (j=0;j<=(2*n);j++)    
          x++;        ②      
   }         
解：  语句1的频度是n-1
         语句2的频度是(n-1)*(2n+1) = 2n²-n-1
         T(n) = 2n²-n-1+(n-1) = 2n²-2
         f(n) = n²
         lim(T(n)/f(n)) = 2 + 2*(1/n²) = 2
         T(n) = O(n²).

O(n)                                         
   a=0;
   b=1;                     ①
   for (i=1;i<=n;i++) ②
   {  
      s=a+b;　　　　③
      b=a;　　　　　④  
      a=s;　　　　　⑤
   }
解：  语句1的频度：2,        
         语句2的频度：n,        
         语句3的频度：n,        
         语句4的频度：n,    
         语句5的频度：n,                                  
         T(n) = 2+4n
         f(n) = n
         lim(T(n)/f(n)) = 2*(1/n) + 4 = 4
         T(n) = O(n).     
                                                                            
O(log₂n) 
   i=1;       ①
   while (i<=n)
      i=i*2; ②
解： 语句1的频度是1,  
       设语句2的频度是t,  则：2^t<=n;  t<=log₂n
       考虑最坏情况，取最大值t=log₂n,
        T(n) = 1 + log₂n
        f(n) = log₂n
        lim(T(n)/f(n)) = 1/log₂n + 1 = 1
        T(n) = O(log₂n)

 O(n³) 
   for(i=0;i<n;i++)
   {  
      for(j=0;j<i;j++)  
      {
         for(k=0;k<j;k++)
            x=x+2;  
      }
   }
解：当i=m, j=k的时候,内层循环的次数为k当i=m时, j 可以取 0,1,...,m-1 ,  所以这里最内循环共进行了0+1+...+m-1=(m-1)m/2次所以,i从0取到n, 则循环共进行了: 0+(1-1)*1/2+...+(n-1)n/2=n(n+1)(n-1)/2次
T(n) = n(n+1)(n-1)/2 = (n³-n)/2?    <--4
f(n) = n³
所以时间复杂度为O(n³)。