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分治策略

 1、二分查找

  (1)、二分查找递归实现

#include<stdio.h>

#define NOT_FOUND    -1;

int binSearch(int *a, int head, int tail, int key);

int binSearch(int *a, int head, int tail, int key){
    int middle;

    if(head <= tail){
        middle = (head + tail)/2;

        if(key == a[middle]){
            return middle;
        }
        if(key < a[middle]){
            return binSearch(a, head, middle-1, key);
        }
        if(key > a[middle]){
            return binSearch(a, middle+1, tail, key);
        }
    }

    return NOT_FOUND;
}

void main(void){
    int a[] = {2, 3, 4, 6, 8, 10};
    int count = sizeof(a)/sizeof(int);
    int index;
    int number;

    printf("请输入要查找的数字: ");
    scanf("%d", &number);
    index = binSearch(a, 0, count-1, number);
    printf("%d\n", index);

}

  (2)、结果截图

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  (3)、二分查找非递归实现

#include<stdio.h>

#define NOT_FOUND    -1

int binSearch(int *a, int count, int key);

int binSearch(int *a, int count, int key){
    int head = 0;
    int tail = count-1;
    int middle = (head+tail)/2;

    while(head <= tail){   //有可能head和tail到达了同一个数字;
        if(key < a[middle]){
            tail = middle-1;
        }else if(key > a[middle]){
            head = middle+1;
        }else{
            return middle;
        }
        middle = (head+tail)/2;
    }

    return NOT_FOUND;

}

void main(void){
    int a[] = {1, 3, 6, 8, 9, 10};
    int count = sizeof(a)/sizeof(int);
    int number;
    int index;

    printf("请输入要查找的数字:");
    scanf("%d", &number);
    index = binSearch(a, count, number);
    printf("%d\n", index);

}

  (4)、结果截图

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  (5)、算法分析

  时间复杂度为:O(logn);


2、乘方问题,给你一个数X,然后在给你一个正整数n,计算x的n次方?

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时间复杂度为:O(n);

怎么用分治法,在非线性时间内解决这个问题?

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分解为2个子问题是完全一样的,所以时间复杂度为:O(logn);


3、斐波那契数列:输入n,求第n项?

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  (1)、递归代码实现

#include<stdio.h>

int fibonacci(int n);

int fibonacci(int n){
    if(n <= 0){
        return 0;
    }
    if(n == 1){
        return 1;
    }

    return fibonacci(n-1)+fibonacci(n-2);
}

void main(void){
    int number;
    int value;

    printf("请输入斐波那契数:");
    scanf("%d", &number);

    value = fibonacci(number);
    printf("%d\n", value);
}

算法分析:

  这就是一个递归树,处理相同的子问题,用的分治策略,在递归树上好多都是重复计算的;

  时间复杂度(指数级):

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  (2)、非递归算法

#include<stdio.h>

int fibonacci(int n);

int fibonacci(int n){
    int firstNumber = 0;
    int secondNumber = 1;
    int finNumber;
    int i = 2;

    if(n == 1){
        return firstNumber; 
    }
    if(n == 2){
        return secondNumber;
    }

    for(i = 3; i <= n; i++){
        finNumber = firstNumber + secondNumber;
        firstNumber = secondNumber;
        secondNumber = finNumber;
    }

    return finNumber;

}

void main(void){
    int number;
    int value;

    printf("请输入第几个斐波那契数:");
    scanf("%d", &number);

    value = fibonacci(number);
    printf("%d\n", value);
}

算法分析:

  时间复杂度:O(n);

  (3)、公式法

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算法分析:

  这种方法在实际上不能实现,浮点数包含在内,取整将得不到正确答案;

  (4)、平方递归算法

矩阵相乘法:

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证明:

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算法分析:

  时间复杂度为:O(logn);


4、NxN矩阵乘法,具体描述为(矩阵乘法的顺序是不可以交换的):

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  (1)、用上面的这个公式实现算法,嵌套三层for循环;

  时间复杂度为:O(n^3);

  (2)、矩阵分块

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r = ae+bg、s = af+bh、t = ce+dg、u = cf+dh;

将A、B矩阵共分为a、b、c、d、e、f、g、h一共8块,在递归的计算乘积,

一共需要8次n/2乘n/2矩阵的递归乘积;

时间复杂度为:O(n^log2(8)) = O(n^3);

  (3)、Strassen(斯特拉森)算法:

在上面的矩阵分块的基础上写出以下式子:

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只用7次递归乘法,所有时间复杂度:O(n^log2(7)) = O(n^2.81);

矩阵相乘目前最好的算法时间复杂度大约是:O(n^2.376);


5、将完全二叉树布局到电路网格上,要求占的面积要最少(包围的树形面积)?

  (1)常规的放置方案:

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树高log(n),宽为n,所以面积为:nlog(n);

  (2)、可以变换树的图形,从宽度上着手;

树的网格布局一个好方法,也是分治法思想的一个应用。

H布局

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即高和宽放的都是一样多的,完全树的L(n) = O(根号n),所以面积最小为:n;



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