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UVa 1478 - Delta Wave

题目:求从(0,0)到(N,0)的路径数,每次可以斜向上或者斜向下或者直走。(不能走到负区域)

分析:组合,计数,卡塔兰数,大整数。

            因为不能走到负的区域,所以上升的和下降的此时必然相等,而且上升次数要随时不小于下降次数。

            由此可知,上升和下降是上面提到的括号合法匹配,枚举所有的上升下降次数有:

            边长为n的图中走法数 F(n)= Σ(C(n,2*i)*Ci),其中:

            C(n,2*i)是n条路中有i条上升和i条下降的方案数,Ci是i条上升和i条下降的合法组合数(内部)。

            化简:F(n)= Σ(C(n,2*k)*C(2k,k)/(k+1)); 

            设:    B(k)= C(n,2*k)*C(2k,k)/(k+1);

            得递推关系:B(k)= B(k-1)*(n-2*k+2)*(n-2*k+1)/(k*(k+1));

            利用上面递推关系计算即可。

说明:貌似java的大数用起来比较快╮(╯▽╰)╭。

#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cstdio>

using namespace std;

int C[4808] = {0};
int ans[4808];

int main()
{
	int n;
	while (~scanf("%d",&n) && n) {
		memset(C, 0, sizeof(C));
		memset(ans, 0, sizeof(ans));
		C[0] = 1;ans[0] = 1;
		for (int i = 1 ; 2*i <= n ; ++ i) {
			for (int j = 0 ; j < 4800 ; ++ j)
				C[j] *= (n-2*i+2)*(n-2*i+1);
			for (int j = 0 ; j < 4800 ; ++ j) {
				C[j+1] += C[j]/10;
				C[j] %= 10;
			}
			for (int j = 4799 ; j >= 0 ; -- j) {
				C[j-1] += C[j]%((i+1)*i)*10;
				C[j] /= ((i+1)*i);
			}
			for (int j = 0 ; j < 4800 ; ++ j)
				ans[j] += C[j];
			for (int j = 0 ; j < 4800 ; ++ j) {
				ans[j+1] += ans[j]/10;
				ans[j] %= 10;
			}
		}
		int end = 99;
		while (!ans[end]) -- end;
		while (end >= 0) printf("%d",ans[end --]);
		printf("\n");
	}
	return 0;
}


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