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[ACM] POJ 3233 Matrix Power Series （求矩阵A+A^2+A^3...+A^k，二分求和）

2024-07-23 04:09:24   219人阅读

Matrix Power Series
Time Limit: 3000MS Memory Limit: 131072K
Total Submissions: 15417 Accepted: 6602

Description

Given a n × n matrix A and a positive integer k, find the sum S = A + A2 + A3 + … + Ak.

Input

The input contains exactly one test case. The first line of input contains three positive integers n (n ≤ 30), k (k ≤ 109) and m (m < 104). Then follow n lines each containing n nonnegative integers below 32,768, giving A’s elements in row-major order.

Output

Output the elements of S modulo m in the same way as A is given.

Sample Input

2 2 4
0 1
1 1

Sample Output

1 2
2 3

Source

POJ Monthly--2007.06.03, Huang, Jinsong


解题思路：

题意为给定矩阵A（下面代码中用ori表示)，以及k, mod ,求 A+A^2+A^3+......A^k    的和对mod取余。

一开始用循环k次，递推的做法，超时。。。

看了解题报告，求和的时候要用到二分求和。

所求的和用s(k)表示。

当k为偶数时：

比如 k=6,那么  A+A^2+A^3+A^4+A^5+A^6=    A+A^2+A^3+   A^3*（A+A^2+A^3）   

s(k)=s(k/2)+A^(n/2) * s(k/2) 即s(k)=(E+A^(n/2))*s(n/2)  （E为单位矩阵）

当k为奇数时：

s(k)=s(k-1)*A^k ,  那么k-1为偶数，可以按照上面的二分

PS：代码要写仔细啊，否则一个小错误查半天.....计算两个矩阵相乘时ret.arr[i][j]+=a.arr[i][k]*b.arr[k][j]; 竟然写成了ret.arr[i][j]+=a.arr[i][k]*a.arr[k][j]; T T

代码：

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
using namespace std;
const int maxn=31;
int n,k,mod;


struct mat
{
    int arr[maxn][maxn];
    mat()
    {
        memset(arr,0,sizeof(arr));
    }
};


mat mul(mat a,mat b)
{
    mat ret;
    for(int i=0;i<n;i++)
        for(int k=0;k<n;k++)
    {
        if(a.arr[i][k])
            for(int j=0;j<n;j++)
        {
            ret.arr[i][j]+=a.arr[i][k]*b.arr[k][j];
            if(ret.arr[i][j]>=mod)
                ret.arr[i][j]%=mod;
        }
    }
    return ret;
}

mat add(mat a,mat b)
{
    mat an;
    for(int i=0;i<n;i++)
        for(int j=0;j<n;j++)
        {
            an.arr[i][j]=a.arr[i][j]+b.arr[i][j];
            if(an.arr[i][j]>=mod)
                an.arr[i][j]%=mod;
        }
    return an;
}

mat power(mat p,int k)
{
    if(k==1) return p;
    mat e;
    for(int i=0;i<n;i++)
        e.arr[i][i]=1;
    if(k==0) return e;
    while(k)
    {
        if(k&1)
            e=mul(p,e);
        p=mul(p,p);
        k>>=1;
    }
    return e;
}

void output(mat ans)
{
    for(int i=0;i<n;i++)
        for(int j=0;j<n;j++)
    {
        if(j==n-1)
            cout<<ans.arr[i][j]<<endl;
        else
            cout<<ans.arr[i][j]<<" ";
    }
}

mat  cal(mat ori,int k)
{
    if(k==1) return ori;
    if(k&1)
        return add(cal(ori,k-1),power(ori,k));//当k为奇数时，减1变为偶数 S(K)=S(K-1)+ori^K
    else
        return mul(add(power(ori,0),power(ori,k>>1)),cal(ori,k>>1));
        //当K为偶数时,S(K)=(1+ori^(K/2))*S(K/2)
}

int main()
{
    while(scanf("%d%d%d",&n,&k,&mod)!=EOF)
    {
        mat ori,ans;
        for(int i=0;i<n;i++)
            for(int j=0;j<n;j++)
        {
            scanf("%d",&ori.arr[i][j]);
            if(ori.arr[i][j]>=mod)
                ori.arr[i][j]%=mod;
        }
        ans=cal(ori,k);
        output(ans);
    }
    return 0;
}


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