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【编程之美】24点游戏
一，概述
二十四点是一种益智游戏，它能在游戏中锻炼人们的心算，它往往要求人们将四个数字进行加减乘除（允许使用括号）求得二十四。然后将四个数字的计算公式表示出来。
二，中缀表达式求解
最直接的方法就是采用穷举法，游戏中可用的运算符只有四种，四个数字每个只能使用一次。
1）不考虑括号情况
4个数全排列：4！=24种
需要三个运算符，且运算符可以重复：4*4*4=64
总计：1536
2）考虑括号（是个难点）
自己想的加括号：四个数有五种加括号方式： (AB)CD 、 AB(CD)、 A(BC)D 、 A((BC)D) 、 (AB)(CD)、A(B(CD))
错误点：这里添加括号的时候，需要把四个数都看成相乘。需要加两个括号来列举比较直观
AB(CD) = (AB)(CD)
改正后：((AB)C)D 、 (AB)(CD) 、 (A(BC))D 、 A((BC)D) 、A(B(CD))
四个运算数五种不同加括号方式的由来。这是一个经典的Catalan数问题。
这个经典Catalan数问题在组合数学教材上都能找到。原题目是：n 个数相乘, 不改变它们的位置, 只用括号表示不同的相乘顺序，令g(n)表示这种条件下构成不同乘积的方法数，令C(n)表示第n个Catalan数。则有g(n)=C(n-1)。前几个Catalan数为：C(0)=1，C(1)=1，C(2)=2，C(3)=5，C(4)=14，C(5)=42。所以g(4)=C(3)=5。
根据Catalan数的计算公式，有g(4)=g(1)g(3)+g(2)g(2)+g(3)g(1)。
Catalan数的计算公式也同时提供了构造答案的方法。对于4个数，中间有3个位置，可以在任何一个位置一分为二，被分开的两半各自的加括号方案再拼凑起来就得到一种4个数的加括号方案：
一个数时：(A)，一种
两个数：g(2)=g(1)g(1)，所以是(A)(B)=(AB)，一种
三个数：g(3)=g(1)g(2)+g(2)g(1)=(A)(BC)+(AB)(C)，两种
四个数：g(4)=g(1)g(3)+g(2)g(2)+g(3)g(1)
=(A)[(B)(CD)+(BC)(D)]+(AB)(CD)+[(A)(BC)+(AB)(C)](D)
=A(B(CD)) + A((BC)D) + (AB)(CD) + (A(BC))D + ((AB)C)D
共有五种。于是写代码枚举这五种加括号的方式即可。这种方法只是一种能得到正确答案的方法，扩展性和效率都极差。而且生成的表达式中也有冗余括号。
1 #include <iostream> 2 #include <cmath> 3 using namespace std; 4 5 const double Threshold = 1E-6; 6 const int CardsNumber = 4; 7 const int ResultValue = http://www.mamicode.com/24; 8 double number[CardsNumber]; 9 string result[CardsNumber]; 10 11 bool PointsGame(int n) 12 { 13 if(n == 1) 14 { 15 // 由于浮点数运算会有精度误差，所以用一个很小的数1E-6来做容差值 16 // 本书2.6节中讨论了如何将浮点数转化为分数的问题 17 if(fabs(number[0] - ResultValue) < Threshold)//结果等于24 18 { 19 cout << result[0] << endl;//输出表达式 20 return true; 21 } 22 else 23 { 24 return false; 25 } 26 } 27 28 for(int i = 0; i < n; i++)//第一个数(计算时被两个数结果替换) 29 { 30 for(int j = i + 1; j < n; j++)//第二个数(计算时候被最后一个数替换) 31 { 32 double a, b;//存放计算的数 33 string expa, expb;//存放表达式中两个数 34 35 a = number[i]; 36 b = number[j]; 37 number[j] = number[n - 1];//去除第二个数 38 39 expa = result[i]; 40 expb = result[j]; 41 result[j] = result[n - 1];//表达式去除 42 43 result[i] = ‘(‘ + expa + ‘+‘ + expb + ‘)‘; 44 number[i] = a + b;//去除第一个数 45 if(PointsGame(n - 1)) 46 return true; 47 48 result[i] = ‘(‘ + expa + ‘-‘ + expb + ‘)‘; 49 number[i] = a - b; 50 if(PointsGame(n - 1)) 51 return true; 52 53 result[i] = ‘(‘ + expb + ‘-‘ + expa + ‘)‘; 54 number[i] = b - a; 55 if(PointsGame(n - 1)) 56 return true; 57 58 result[i] = ‘(‘ + expa + ‘*‘ + expb + ‘)‘; 59 number[i] = a * b; 60 if(PointsGame(n - 1)) 61 return true; 62 63 if(b != 0) 64 { 65 result[i] = ‘(‘ + expa + ‘/‘ + expb + ‘)‘; 66 number[i] = a / b; 67 if(PointsGame(n - 1)) 68 return true; 69 } 70 if(a != 0) 71 { 72 result[i] = ‘(‘ + expb + ‘/‘ + expa + ‘)‘; 73 number[i] = b / a; 74 if(PointsGame(n - 1)) 75 return true; 76 } 77 78 number[i] = a;//将本次循环的结果消除，继续测试下一对数 79 number[j] = b; 80 result[i] = expa; 81 result[j] = expb; 82 } 83 } 84 return false; 85 } 86 87 int main() 88 { 89 int x; 90 for(int i = 0; i < CardsNumber; i++) 91 { 92 char buffer[20]; 93 cout << "the " << i << "th number:"; 94 cin >> x; 95 number[i] = x; 96 itoa(x, buffer, 10); 97 result[i] = buffer; 98 } 99 if(PointsGame(CardsNumber))100 {101 cout << "Success." << endl;102 }103 else104 {105 cout << "Fail." << endl;106 }107 }
三，分支限界法求解
1 #include <iostream> 2 #include <set> 3 #include <string> 4 #include <cmath> 5 using namespace std; 6 7 #define N 4 // 4张牌，可变 8 #define RES 24 // 运算结果为24，可变 9 #define EPS 1e-610 11 struct Elem12 {13 Elem(double r, string& i):res(r),info(i){}14 Elem(double r, char* i):res(r),info(i){}15 double res; // 运算出的数据16 string info; // 运算的过程17 bool operator<(const Elem& e) const18 {19 return res < e.res; // 在set的红黑树插入操作中需要用到比较操作20 }21 };22 23 int A[N]; // 记录N个数据24 // 用二进制数来表示集合和子集的概念，0110表示集合包含第2,3个数25 set<Elem> vset[1<<N]; // 包含4个元素的集合共有16个子集0-1526 27 set<Elem>& Fork(int m)28 {29 // memo递归30 if (vset[m].size())31 {32 return vset[m];33 }34 for (int i=1; i<=m/2; i++)35 if ((i&m) == i)36 {37 set<Elem>& s1 = Fork(i);38 set<Elem>& s2 = Fork(m-i);39 set<Elem>::iterator cit1;40 set<Elem>::iterator cit2;41 // 得到两个子集合的笛卡尔积，并对结果集合的元素对进行6种运算42 for (cit1=s1.begin(); cit1!=s1.end(); cit1++)43 for (cit2=s2.begin(); cit2!=s2.end(); cit2++)44 {45 string str;46 str = "("+cit1->info+"+"+cit2->info+")";47 vset[m].insert(Elem(cit1->res+cit2->res,str));48 str = "("+cit1->info+"-"+cit2->info+")";49 vset[m].insert(Elem(cit1->res-cit2->res,str));50 str = "("+cit2->info+"-"+cit1->info+")";;51 vset[m].insert(Elem(cit2->res-cit1->res,str));52 str = "("+cit1->info+"*"+cit2->info+")";53 vset[m].insert(Elem(cit1->res*cit2->res,str));54 if (abs(cit2->res)>EPS) 55 {56 str = "("+cit1->info+"/"+cit2->info+")";57 vset[m].insert(Elem(cit1->res/cit2->res,str));58 }59 if (abs(cit1->res)>EPS)60 {61 str = "("+cit2->info+"/"+cit1->info+")";62 vset[m].insert(Elem(cit2->res/cit1->res,str));63 }64 }65 }66 return vset[m];67 }68 69 int main()70 {71 int i;72 for (i=0; i<N; i++)73 cin >> A[i];74 // 递归的结束条件75 for (i=0; i<N; i++)76 {77 char str[10];78 sprintf(str,"%d",A[i]);79 vset[1<<i].insert(Elem(A[i],str));80 }81 Fork((1<<N)-1);//开始1111 表示四个数 82 // 显示算出24点的运算过程83 set<Elem>::iterator it;84 for (it=vset[(1<<N)-1].begin(); 85 it!=vset[(1<<N)-1].end(); it++)86 {87 if (abs(it->res-RES) < EPS)88 cout << it->info << endl;89 }90 }
http://blog.csdn.net/tianshuai1111/article/details/7713640
【编程之美】24点游戏