求S中和T相同的子串的个数。

递推公式：

dp(i,j)：S[0...i-1]和T[0...j-1]中不同子串的个数。

dp(0,j) = 0

dp(i,0) = 1

一般情况下

dp(i,j) = dp(i-1,j-1) + dp(i-1,j)    S[i-1] == T[j-1]，保留S[i-1]以及丢弃S[i-1]

          = dp(i-1,j)                       S[i-1] != T[j-1]，丢弃S[i-1]，只比较S[0...j-2]和T[0...i-1]

因为dp(i,j)仅仅与dp(i-1,?)有关，所以可以将空间降维至一维

因为dp(i,j)计算时会用到dp(i-1, j)和dp(i-1,j-1)所以降维后新的dp(j)在计算时会用到旧的dp(j)和dp(j-1)，因此在计算时应该从j=T.size()-1开始，从后往前计算。

dp(0) = 1

dp(j) = dp(j) + dp(j-1)     S[i-1] == T[j-1]，保留S[i-1]以及丢弃S[i-1]

           dp(j)                    S[i-1] != T[j-1]，丢弃S[i-1]

代码如下：

int numDistinct(string S, string T) {
        if (S.size() == 0 || T.size() == 0) return 0;
        vector<int> dp(T.size() + 1);
        dp[0] = 1;
        for (int i = 1; i <= S.size(); i++)
            for (int j = T.size() ; j >= 0; j--)
                if (S[i - 1] == T[j - 1])
                    dp[j] += dp[j - 1];
        return dp[T.size()];
    }

Distinct Subsequences [leetcode] DP,空间复杂度O(T.size)