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最近接下来几篇博文会回到神经网络结构的讨论上来，前面我在“深度学习方法（五）：卷积神经网络CNN经典模型整理Lenet，Alexnet，Googlenet，VGG，Deep Residual Learning”一文中介绍了经典的CNN网络结构模型，这些可以说已经是家喻户晓的网络结构，在那一文结尾，我提到“是时候动一动卷积计算的形式了”，原因是很多工作证明了，在基本的CNN卷积计算模式之外，很多简化、扩展、变化都可以让卷积计算获得更多特性，比如参数减少，计算减少，效果提升等等。

接下来几篇文章会陆续介绍下面这些topic:

1. Maxout Networks
2. Network In Network
3. Inception Net（Google）
4. ResneXt
5. Xception（depth-wise convolution）
6. Spatial Transformer Networks
7. …

本文先介绍两个13，14年的工作：Maxout Networks，Network In Network。网上有不少资料，但是很多作者我相信自己都没有完全理解，在本文中我会尽可能描述清楚。本文重点在于Network In Network。本文针对论文和网络资料的整理，自己重新撰写，保证每一个初学者都可以看懂。

1、Maxout Network

坦白说Maxout本身并不能算卷积结构的变化，但是它提出了一个概念——线性变化+Max操作可以拟合任意的的凸函数，包括激活函数（如Relu）；后面要介绍的NIN有关系，所以先介绍一下Maxout。

Maxout出现在ICML2013上，大神Goodfellow（GAN的提出人~）将maxout和dropout结合后，号称在MNIST, CIFAR-10, CIFAR-100, SVHN这4个数据上都取得了start-of-art的识别率。

从论文中可以看出，maxout其实是一种激或函数形式。通常情况下，如果激活函数采用sigmoid函数的话，在前向传播过程中，隐含层节点的输出表达式为：

一般的MLP就是这样情况。其中W一般是2维的，这里表示取出的是第i列（对应第i个输出节点），下标i前的省略号表示对应第i列中的所有行。如果是maxout激活函数，则其隐含层节点的输出表达式为：

这里的W是3维的，尺寸为d*m*k，其中d表示输入层节点的个数，m表示隐含层节点的个数，k表示每个隐含层节点展开k个中间节点，这k个中间节点都是线性输出的，而maxout的每个节点就是取这k个中间节点输出最大的那个值。参考一个日文的maxout ppt 中的一页ppt如下：

这张图的意识是说，紫圈中的隐藏节点展开成了5个黄色节点，取max。Maxout的拟合能力是非常强的，它可以拟合任意的的凸函数。从左往右，依次拟合出了ReLU，abs，二次曲线。

作者从数学的角度上也证明了这个结论，即只需2个maxout节点就可以拟合任意的凸函数了（相减），前提是中间节点的个数可以任意多，如下图所示，具体可以翻阅paper[1]。maxout的一个强假设是输出是位于输入空间的凸集中的….这个假设是否一定成立呢？虽然ReLU是Maxout的一个特例——实际上是得不到ReLU正好的情况的，我们是在学习这个非线性变换，用多个线性变换的组合+Max操作。

2、Network In Network

OK，上面介绍了Maxout[1]，接下来重点介绍一下14年新加坡NUS颜水成老师组的Min Lin一个工作Network In Network ，说实话，不论是有心还是无意，本文的一些概念，包括1*1卷积，global average pooling都已经成为后来网络设计的标准结构，有独到的见解。

图1

先来看传统的卷积，图1左：

很多同学没有仔细看下标的含义，所以理解上模棱两可。xij表示的是一个卷积窗口的patch（一般是k_h*k_w*input_channel），k表示第k个kernel的index；激活函数是ReLU。并不是说只做一个kernel，而是指任意一个kernel。

再来看本文提出的Mlpconv Layer，也就是Network In Network，图1右。这里只是多加了一层全连接MLP层，什么意思呢？作者称之为“cascaded cross channel parametric pooling layer”，级联跨通道的带参数pooling层，目的是：

Each pooling layer performs weighted linear recombination on the input feature maps

看公式2就很清楚了，是第一层还是传统的卷积，在做一次卷积以后，对输出feature map的中的每一个像素点fij，其对应的所有channel又做了一次MLP，激活函数是ReLU。n表示第n层，而kn表示一个index，因为在第n层里面有很多kernel，和前面公式1是一个道理。所以，我们看下面整个NIN网络就很清楚了：

看第一个NIN，本来11*11*3*96（11*11的卷积kernel，输出map 96个）对于一个patch输出96个点，是输出feature map同一个像素的96个channel，但是现在多加了一层MLP，把这96个点做了一个全连接，又输出了96个点——很巧妙，这个新加的MLP层就等价于一个1 * 1 的卷积层，这样在神经网络结构设计的时候就非常方便了，只要在原来的卷积层后面加一个1*1的卷积层，而不改变输出的size。注意，每一个卷积层后面都会跟上ReLU。所以，相当于网络变深了，我理解其实这个变深是效果提升的主要因素。

举例解释

假设现在有一个3x3的输入patch，用x代表，卷积核大小也是3x3，向量w代表，输入channel是c1，输出channel是c2。下面照片是我自己手画的，比较简单，见谅：）

• 对于一般的卷积层，直接x和w求卷积，得到1*1的1个点，有C2个kernel，得到1*1*c2；
• Maxout，有k个的3x3的w（这里的k是自由设定的），分别卷积得到k个1x1的输出，然后对这k个输入求最大值，得到1个1*1的点，对每一个输出channel都要这样做；
• NIN，有k个3x3的w（这里的k也是自由设定的），分别卷积得到k个1x1的输出，然后对它们都进行relu，然后再次对它们进行卷积，结果再relu。（这个过程，等效于一个小型的全连接网络）

这里建立了一个概念，全连接网络可以等价转换到1*1的卷积，这个idea在以后很多网络中都有用到，比如FCN[5]。

Global Average Pooling

在Googlenet网络中，也用到了Global Average Pooling，其实是受启发于Network In Network。Global Average Pooling一般用于放在网络的最后，用于替换全连接FC层，为什么要替换FC？因为在使用中，例如alexnet和vgg网络都在卷积和softmax之间串联了fc层，发现有一些缺点：

（1）参数量极大，有时候一个网络超过80~90%的参数量在最后的几层FC层中；
（2）容易过拟合，很多CNN网络的过拟合主要来自于最后的fc层，因为参数太多，却没有合适的regularizer；过拟合导致模型的泛化能力变弱；
（3）实际应用中非常重要的一点，paper中并没有提到：FC要求输入输出是fix的，也就是说图像必须按照给定大小，而实际中，图像有大有小，fc就很不方便；

作者提出了Global Average Pooling，做法很简单，是对每一个单独的feature map取全局average。要求输出的nodes和分类category数量一致，这样后面就可以直接接softmax了。

作者指出，Global Average Pooling的好处有：

• 因为强行要求最后的feature map数量等于category数量，因此feature map就会被解析为categories confidence maps.
• 没有参数，所以不会过拟合；
• 对一个平面的计算，使得利用了空间信息，对于图像在空间中变化更鲁棒；

Dropout

最后稍微提一下dropout，这个是hinton在Improving neural networks by preventing co-adaptation of feature detectors[9]一文中提出的。方法是在训练时，一层隐藏层输出节点中，随机选p（比如0.5）的比例的节点输出为0，而与这些0节点相连的那些权重在本次迭代training中不被更新。Dropout是一个很强力的正则方法，为啥？因为有一部分权重没有被更新，减少了过拟合，而且每一次训练可以看做使用的网络model是不一样的，因此，最终全局就相当于是指数个model的混合结果，混合模型的泛化能力往往比较强。一般Dropout用于FC层，主要也是因为FC很容易过拟合。

OK，本篇就到这里，欢迎初学DL的同学分享，有问题可以在下面留言。

参考资料

[1] Maxout Networks, 2013
[2] http://www.jianshu.com/p/96791a306ea5
[3] Deep learning：四十五(maxout简单理解)
[4] 论文笔记 《Maxout Networks》 && 《Network In Network》
[5] Fully convolutional networks for semantic segmentation, 2015
[6] http://blog.csdn.net/u010402786/article/details/50499864
[7] 深度学习（二十六）Network In Network学习笔记
[8] Network in Nerwork， 2014
[9] Improving neural networks by preventing co-adaptation of feature detectors