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NYOJ 1075 （递推 + 矩阵快速幂）

2024-07-24 23:20:16   220人阅读

“红色病毒”问题

时间限制：1000 ms  |  内存限制：65535 KB
难度：4
描述
医学研究者最近发现了一种新病毒，因为其蔓延速度与曾经在Internet上传播的“红色代码”不相上下，故被称为“红色病毒”。
经研究发现，该病毒及其变种的DNA序列中，腺嘌呤（A）、胞嘧啶（C）均是成对出现的。LYH想知道在这种特征下，所有可能成为该病毒的DNA序列的个数。
输入
多组测试数据。
每组数据输入一个整数n，表示该病毒DNA序列的长度。（1≤n≤10^9）
n=0时表示输入结束，不用做任何处理。
输出
每组输出占一行，代表该病毒长度为n的所有可能的DNA序列个数。由于结果可能非常大，你只需输出对10007取余后的结果即可。
样例输入
1
2
样例输出
2
6
提示
DNA序列仅由腺嘌呤（A)，鸟嘌呤（G），胞嘧啶（C），胸腺嘧啶（T）四种核苷酸组成。
当n=2时，所有可能的DNA序列为TT、TG、GT、GG、AA、CC。


分析：因为题目要求A和C要成对出现，即A和C的数量都是偶数，所以可以定义4个状态：
dp[n][0]表示长度为n时A的数量为偶数，C的数量也为偶数，
dp[n][1]表示长度为n时A的数量为偶数，C的数量为奇数，
dp[n][2]表示长度为n时A的数量为奇数，C的数量为偶数，
dp[n][3]表示长度为n时A的数量为奇数，C的数量也为奇数的DNA序列的数量，
则
dp[n][0] = dp[n-1][0] * 2 + dp[n-1][1] * 1 + dp[n-1][2] * 1 + dp[n-1][3] * 0
dp[n][1] = dp[n-1][0] * 1 + dp[n-1][1] * 2 + dp[n-1][2] * 0 + dp[n-1][3] * 1
dp[n][2] = dp[n-1][0] * 1 + dp[n-1][1] * 0 + dp[n-1][2] * 2 + dp[n-1][3] * 1
dp[n][3] = dp[n-1][0] * 0 + dp[n-1][1] * 1 + dp[n-1][2] * 1 + dp[n-1][3] * 2
根据这个递推关系，可以构造出如下一个4*4的矩阵，
| 2    1    1   0 |
| 1    2    0   1 |
| 1    0    2   1 |
| 0    1    1   2 |
然后利用矩阵快速幂就可以快速求出答案。

#include<cstdio>
#include<cstring>

#define mod 10007

struct Matrix {
    int mat[4][4];
    Matrix() {
        memset(mat, 0, sizeof(mat));
        for(int i = 0; i < 4; i++)
            mat[i][i] = 1;
    }
};

Matrix Multi(Matrix a, Matrix b) {
    Matrix res;
    for(int i = 0; i < 4; i++) {
        for(int j = 0; j < 4; j++) {
            res.mat[i][j] = 0;
            for(int k = 0; k < 4; k++) {
                res.mat[i][j] += a.mat[i][k] * b.mat[k][j];
                res.mat[i][j] %= mod;
            }
        }
    }
    return res;
}

Matrix Pow(Matrix a, int x) {
    Matrix res;
    while(x) {
        if(x&1) res = Multi(res, a);
        a = Multi(a, a);
        x >>= 1;
    }
    return res;
}

int main() {
    int T, n;

    Matrix A;  //系数矩阵
    A.mat[0][0] = 2; A.mat[0][1] = 1; A.mat[0][2] = 1; A.mat[0][3] = 0;
    A.mat[1][0] = 1; A.mat[1][1] = 2; A.mat[1][2] = 0; A.mat[1][3] = 1;
    A.mat[2][0] = 1; A.mat[2][1] = 0; A.mat[2][2] = 2; A.mat[2][3] = 1;
    A.mat[3][0] = 0; A.mat[3][1] = 1; A.mat[3][2] = 1; A.mat[3][3] = 2;

    scanf("%d",&T);
    while(T--) {
        scanf("%d", &n);
        Matrix ans = Pow(A, n);
        printf("%d\n", ans.mat[0][0]);
    }

    return 0;
}


NYOJ 1075 （递推 + 矩阵快速幂）


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