给定一个字符串，返回该字符串的最长回文子串，回文也就是说 ，正着读和反着读是一样的。下面总结了几种求回文的方式：

方法1 ： 很简单，枚举所有的区间 [i,j] ,查看该范围内是否是一个回文.

  时间复杂度 O(n^3),空间复杂度 O(1).

方法2： 方法1的时间复杂度太高，并且存在着大量的重复运算，可以使用DP来解，并且保存已经检查过的字符串的状态.

  时间复杂度： O(n^2)，空间复杂度O(n^2).

这里存在两种DP的方法，是根据区间来进行DP，还是长度，不过都是大同小异，不改变整个算法的时间复杂度。

代码如下:

//dp 1
string LongestPalindrome(const string &s)
{
    const int n = s.size();
    if(n < 2) return s;
    bool f[n][n+1];

    fill_n(&f[0][0],n*(n+1),false);
    int start = 0, len = 1;

    f[0][0] = true;
    for(int i=0;i<n;++i)
    {
        f[i][0] = true;
        f[i][1] = true;
    }
    for(int i=n-2;i>=0;--i)
    {
        for(int j=2;j<=n && (i+j-1)<n;++j)
        {
            f[i][j] = f[i+1][j-2] && s[i] == s[i+j-1];
            if(f[i][j] && j > len) {start = i; len = j;}
        }
    }

    return s.substr(start,len);
}

//dp 2
string LongestPalindrome_dp2(const string &s)
{
    const int n = s.size();
    if(n < 2) return s;
    bool f[n][n];

    fill_n(&f[0][0],n*n,false);
    int start=0,len=1;
    f[0][0] = true;

    for(int i=0;i<n;++i)
        f[i][i] = true;

    for(int i = n-1 ; i >= 0; --i)
    {
        for(int j = i+1; j < n;++j)
        {
            if(j == i+1) f[i][j] = (s[i] == s[j]);
            else
                f[i][j] = f[i+1][j-1] && s[i] == s[j];
            if(f[i][j] && (j-i+1) > len) {start = i; len = j-i+1;}
        }
    }

    return s.substr(start,len);
}

时间复杂度 ： O(n^2) ，空间复杂度 ： O(1)

//从中间往两端延伸（考虑奇数偶数的情况即可）

string LongestPalindrome_extend(const string &s)
{
    const int n = s.size();
    if(n < 2) return s;
    int low,high;
    int start=0,len=1;
    for(int i=1;i<n;++i)
    {
        //even
        low = i-1;
        high = i;
        while(low>=0&&high<n&&s[low]==s[high])
        {
            if(high-low+1>len)
            {
                start=low;
                len=high-low+1;
            }
            --low;++high;
        }
        //odd
        low = i-1;
        high = i+1;
        while(low>=0&&high<n&&s[low]==s[high])
        {
            if(high-low+1 > len)
            {
                start = low;
                len=high-low+1;
            }
            --low;++high;
        }
    }
    return s.substr(start,len); 
}

方法3 ：使用后缀数组的思想，将字符串s取s的逆，拼接在s的后面，也就是说 现在考察的字符串是 s#s‘，其中的#是额外的一个字符，s‘是s的逆串。求当前这个新拼接而成的字符串的后缀树组的最长公共前缀。

时间复杂度： O(n^2)，空间复杂度 O(n^2)

//关于此方法还没想明白，暂不贴代码

方法4： manacher算法。参考 点击打开链接

时间复杂度： O(n)，空间复杂度 O(n)

代码为：

//Manacher O(n)
string Manacher(const string &str)
{
    //add '#'
    string s = "$";
    for(auto a : str)
    {
        s += '#';
        s += a;
    }
    s += '#';
    cout << s << endl;
    const int n = s.size();
    vector<int> P(n,0);
    int right = -1, idx = -1;
    for(int i=1;i<n;++i)
    {
        P[i] = (right > i)? min(P[2*idx-i],right-i):1;
        while(s[i+P[i]] == s[i-P[i]])P[i]++;
        if(i+P[i]>right)
        {
            right = i + P[i];
            idx = i;
        }
    }
    auto pos = max_element(P.begin(),P.end());
    int len = *pos-1;
    string ret;
    int i = pos-P.begin();
    //print
    ret += s[i];
    cout << ret << endl;
    int k=1;
    while(len)
    {
        ret += s[i+k];
        ret = s[i-k]+ret;
        cout << ret << endl;
        ++k;
        --len;
    }
    //trim #
    string ret2;
    for(auto a :ret)
        if(a!='#')ret2 += a;
    return ret2;
}

最长回文子串的不同解法