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二分图最大匹配

在图论中,匹配是指两两没有公共点的边集。

二分图的最大匹配是这样的:给出一个二分图,找到一个边数最大的匹配,即选尽量多的边,使得任意两条选中的边没有公共点。

如果所有的点都是匹配点(匹配中的某一条边的端点),则称这个匹配是完美匹配(perfect matching)。

下面我们考虑二分图都是联通图,如果是非联通图,孤立点我们也不处理,所以相当于联通图。

增广路定理:

我们用未盖点表示不与任何匹配边相邻的顶点,其它点为匹配点,即恰好和一条匹配边邻接的点。

从未盖点出发,依次经过非匹配边、匹配边、非匹配边、匹配边....,所得到的路径为交替路,如果交替路的终点是一个未盖点,则称这条交替路为一条增广路

在增广路中,非匹配边比匹配边多一条。

如图    

那么可以将非匹配边变成匹配边,匹配边变成非匹配边,那么匹配的边数就+1

一个匹配是最大匹配的充分必要条件是找不到增广路。

所以,得到一个算法,每次选一个未盖点u进行dfs,如果找不到u开头的增光路,则换一个未盖点进行dfs,且以后再也不从u出发找增广路

即如果以后存在一个从u出发的增广路,那么现在就找得到(具体证明,我也不知道)。

hdu 2063、

 1 #include <stdio.h> 2 #include <string.h> 3 const int N = 1111; 4 int Map[N][N]; 5 int cx[N]; 6 int cy[N]; 7 bool vis[N]; 8 int k,m,n; 9 10 bool dfs(int u)//从未盖点u出发,寻找增广路11 {12     int i;13     for(i=1; i<=m; ++i)14     {15         if(Map[u][i] && !vis[i])16         {17             vis[i] = true;18             if(cy[i] == -1 || dfs(cy[i]))//如果能找到增广路19             {20                 cy[i] = u;//匹配标记,  i 和u配对21                 cx[u] = i;22                 return true;23             }24         }25     }26     return false;27 }28 int MaxMatch()29 {30     memset(cy, -1, sizeof(cy));31     memset(cx, -1, sizeof(cx));32     int i, ans = 0;33     for(i=1; i<=n; ++i)34     {35         if(cx[i] == -1)//每次从未盖点出发,寻找增广路36         {37             memset(vis,0,sizeof(vis));38             ans += dfs(i);//如果找到增广路,则匹配边的个数+139         }40     }41     return ans;42 }43 int main()44 {45     46     int a,b,i;47     while(scanf("%d%d%d",&k,&n,&m)==3 && k)48     {49         memset(Map, 0, sizeof(Map));50         for(i=0; i<k; ++i)51         {52             scanf("%d%d",&a,&b);53             Map[a][b] =  1;54         }55         int ans = MaxMatch();56         printf("%d\n",ans);57         58     }59     return 0;60 }

 

二分图最大匹配