通常，我们需要判断一个元素是否在一个集合中。比如在WPS字处理软件中，需要检查一个单词是否拼写正确；在FBI

中需要判断一个嫌疑犯的名字是否在嫌疑名单上；在网络爬虫里，判断一个网址是否被访问过。最简单的解决办法就是

采用HashTable的方法来存储，它的好处是快速且精确，缺点是耗费大量内存空间。

现在，来介绍一种数学工具，叫做布隆过滤器（Bloom Filter），是布隆在1970年提出的，它所需要的空间比传统

的Hash表的方法少很多（减少到Hash表所需内存的1/8或者1/4），而且并不会存储元素本身，所以数据安全性比较

高。但缺点是有一定的误识别率，并且无法删除元素。元素越多，误识别率越大，这里的误识别是指不在集合中的元素

可能被误识别为在集合中的元素，当然在集合中的元素一定能被识别到。

接下来介绍布隆过滤器的原理。

布隆过滤器是一个很长的二进制向量和一系列随机映射函数，以存储一亿个垃圾邮件的黑名单为例进行说明。

先建立一个16亿二进制向量，然后将这16亿个二进制位全部清零，对于每一个邮件地址，用8个不同的随机数产生器

产生8个信息指纹，使这8个信息指纹映射到1-16亿中的8个自然数，现在把这8个位置的二进制全部设置为1，对这1

亿个邮件地址都进行这样的操作后，一个针对这些电子邮件地址的布隆过滤器就建成了。

在设计布隆过滤器时，假设布隆过滤器有比特，里面有个元素，每个元素对应个信息指纹的哈希函数。接下来

会分析布隆过滤器中的误识别问题。

在布隆过滤器中插入一个元素，它的第一个哈希函数会把过滤器中的某个比特位置位1，因此任何一个比特位被置成1

的概率是，那么它依然是0的概率是，对于过滤器中一个特定的位置，如果这个元素的个哈希函数都

没有把它设置成1，其概率是

如果过滤器中插入了第二个元素，某个特定的比特位依然没有被设置成1的概率为

如果插入了个元素还没有把某个特定的比特位设置为1，其概率为

那么，反过来，一个特定的比特位在插入个元素后，被设置为1的概率则是

假定这个元素都放到布隆过滤器中了，新来一个不在集合中的元素，由于它的信息指纹的哈希函数都是随机的，因

此它的第一个哈希函数正好命中某个值为1的比特的概率就是

一个不在集合中的元素被误识别在集合中，需要所有的哈希函数对应的比特值均为1，其概率为

我们很容易知道如下结论

那么实际上就有

现在设

由于是常数，设，那么上述方程变为

两边取对数得到

两边再对求导数，得到

要求最值，那么令导数值为零，即

那么，最终会得到

也就是说，当

时，此时的误判率最低，其对应的最低值为

对于上述中垃圾邮件的例子，其中的值为16亿，的值为1亿，这样计算得到的误判率约为0.046%。也就是说万

分之五都不到，这样在大部分应用中都是可以忍受的。

上面我们解出

即得到

此概率为某一固定的比特位在插入个元素后还未被置为1的概率。所以可以看出，要想布隆过滤器的误判率最低，

那么它的空间使用率需为50%。

那么参数的值应该设置为多少最合适？ 针对这个问题，根据上面的过程可以得到

有了这个结论，我们可以根据当前的想要达到指定的误判率来计算需要的比特位。

同样的判断垃圾邮件问题，现在通过传统哈希表的方法和布隆过滤器的方法来进行比较。

（1）传统哈希表方法

    传统的哈希表的存储效率最多只有50%，即哈希表半满，由于每个元素占8字节，总空间计算如下

（2）布隆过滤器方法

    上面我们说过，要使布隆过滤器的误判率最低，那么它的空间使用率需为50%，取的值为8，因为数据是1亿

    条，那么就应该有被置位1，所以总空间计算如下

布隆过滤器