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最坏情况为线性时间的选择算法

求给定输入中第k大的数的算法。

这是一个常见面试题,通常的解法也很明显,使用类似快排的思想。

每趟运行,把数组的值分成两部分,一部分比pivot大,一部分比pivot小,因为我们知道pivot在数组中的位置,所以比较k和pivot的位置就知道第k大的值在哪个范围,我们不断的进行recursion, 直到pivot就是第k大的值。

这个算法的时间预期是O(n)。这里需要注意的是讲的仅限于它的预期,对于这个算法,其在最差情况下,时间复杂度则为n的平法。

参阅快速排序的无敌对手一文,我们是可以构建出一个这样的序列的。最简单的情况,每趟快排的时候我们以第一个为主元,那么对于一个已经排序好的序列,我们要找最大的数,最后的时间花费就退化成了n的平方。

 

《算法导论》9.3章给出了一个最差情况也为线性O(n)的算法。

 Step 1:把数组划分为若干个子数组,每个子数组里包含5个数,因为会有无法整除的可能,所以最后一个子数组会小于5.

Step 2:用插入排序把这5个数排序,然后找出中位数,也就是第3个。

Step 3:把获得的中位数又排序(这个地方错误,不是排序,应该递归调用SELECT),找出中位数的中位数x(如果有偶数个中位数,为了方便,约定x是较小的中位数)。

Step 4:把原来的数组使用类似快排的方法,分成两个部分。让k比划分的低区中的元素数目多1,因此x是第k小元素,并且有n-k个元素在划分的高区.

Step 5:如果i =k,返回x。如果 i < k, 则在低区递归调用来找出第i小的元素.如果i> k,则在高区递归查找第i- k小的元素.

 

整个过程中,第1,2,4步所需时间为O(n), 注意第2步的复杂度不为O(n^2),第3步的复杂度为 T(n/5),第五步的复杂度为 T(7n/10)。

 

注意这里第2步虽然我们使用的是插入排序,但是待排的序列长度为常数5,所以对一组的排序时间花费为O(1),对于n/5个组,其时间预期是O(n/5),即O(n)。

 

时间预期为:

 

         T(n) <= T( n/5 ) + T(7n/10+6) + O(n)

 

(书中通过数学方法最后推得时间预期是O(n)。因为需要较多的数学准备知识,这里不继续介绍。) 

 

在这章的习题中,基于这个算法,要求证明原先Step 1中划分为每组3个和7个的情况的复杂度。7个的情况证明结果和5是一样的。但是对于3的情况,其结果最后可以证明出复杂度并非O(n)。

 

 

尝试证明关键步骤如下:

 

对于划分为3个元素的情况,可以得到递推式(过程略):

 

         T(n) <= T( n/3 ) + T(2n/3+4) + O(n)

 

假设存在某个适当大的常数c,使得T(n)<=cn(为什么这样可查阅《算法导论》第一章),用an替代O(n)(因为O(n)代表的这部分的时间花费是线性的,那么必然存在一个常数a,使得an为这部分时间花费)用cn代换掉式中的T(n)那么有:

 

T(n)<= c(n/3) + c(2n/3+4) + an <= cn/3 + c + 2cn/3 + 4c + O(n)= cn + 5c + an

 

根据假设,T(n)的最大值是cn,那么又有:

 

         cn + 5c + an <= cn

 

        5c + an <=0

 

显然又 a, n > 0,那么欲使等式成立,必有c<=0。与我们假设的矛盾。所以我们的假设不成立。

 

因此,当我们尝试用3划分的时候,该算法的无法在线性复杂度内运行。 

 

这个算法的实现代码比较复杂。对于每组划分5个元素的情况, 实现代码如下(该代码输出的是第i大的元素,上面的解释是输出第i小的元素):

 

 

 

  1 #include <stdlib.h>  2 #include <stdio.h>  3 #define swap(a,b) (a)^=(b);(b)^=(a);(a)^=(b)  4 #define MAX 1000  5   6 void sort(int* input, int size){  7     printf ( "sort arry size = %d\n", size );  8     int i,j;  9     for(i = 0; i< size ; i++){ 10         for(j = 0; j<size-i-1;j++){ 11             if(input[j]<input[j+1]){ 12                 swap(input[j],input[j+1]); 13             }  14         } 15     } 16 } 17 void output(int * input, int size){ 18     for(;size>0 && *input;size--,input++){ 19         printf("%d ", *input); 20     } 21     printf("\n"); 22  23 } 24  25 int partion(int *input, int size, int key){ 26     printf ( "--------------Step4---------------\n" ); 27     printf("key = %d \n", input[key]); 28     int *head, *tail; 29     head = input; 30     tail = head + size - 1; 31     swap(*head, input[key]); 32  33     int *k = head; 34     while(head<tail){ 35         while(*tail && *k >= *tail){ 36             tail--; 37         } 38         if(tail<=head) break; 39         swap(*k,*tail); 40         k = tail; 41         while(*head && *k < *head) 42             head++; 43         if(head>=tail) break; 44         swap(*k,*head); 45         k = head; 46     } 47     output(input, size); 48     printf ( "--------------Step4 done--------------\n" ); 49     return k-input+1; 50 } 51  52 int kselect(int *input, int size, int k){ 53     printf ( "start element : %d \n", *input ); 54     if(size<=5){ 55         sort(input, size); 56         return input[k-1]; 57     } 58     int mid[MAX] = {0}; 59     int midvalue[MAX] = {0}; 60     int groups = size/5; 61     int i; 62  63     printf ( "-----------------step 1, 2--------------\n" ); 64     for(i = 0; i<groups;i++){ 65         sort(input+i*5, (i*5+5 > size) ? (size-1):5); 66         printf ( "sorted group %d:\n", i ); 67         output(input+i*5, 5); 68         mid[i] = i*5 + 2; 69         midvalue[i] = input[i*5 + 2]; 70     } 71  72     printf ( "-----------------step 1, 2 done--------------\n" ); 73  74     printf ( "---------step3-------------\n" ); 75     sort(midvalue, groups); 76     printf ( "---------step3 done-------\n" ); 77     int m = -1; 78     for(i = 0; i<5;i++){ 79         if(input[mid[i]] == midvalue[groups/2]){ 80             m = partion(input, size, mid[i]); 81         } 82     } 83     if(m == k){ 84         return input[m-1]; 85     } 86     if(k<m){ 87         return kselect(input,m,k); 88     } 89     else{ 90         return kselect(input+m, size - m, k-m); 91     } 92     return 0xffff; 93 } 94  95 int main(){ 96     int input[] = {1,3,2,10,5,11, 12, 8 ,6, 7};
     /*输出第7大的元素.*/
97 int r = kselect(input,sizeof(input)/sizeof(int), 7); 98 printf("result %d \n", r); 99 return 0;100 }

 下面这个算法比较靠谱:

  1 #include <iostream>  2 #include <time.h>  3 using namespace std;  4   5 const int num_array = 13;  6 const int num_med_array = num_array / 5 + 1;  7 int array[num_array];  8 int midian_array[num_med_array];  9  10 //冒泡排序(晚些时候将修正为插入排序) 11 /*void insert_sort(int array[], int left, int loop_times, int compare_times) 12 { 13     for (int i = 0; i < loop_times; i++) 14     { 15         for (int j = 0; j < compare_times - i; j++) 16         { 17             if (array[left + j] > array[left + j + 1]) 18                 swap(array[left + j], array[left + j + 1]); 19         } 20     } 21 }*/ 22  23 /* 24 //插入排序算法伪代码 25 INSERTION-SORT(A)                              cost    times 26 1  for j ← 2 to length[A]                      c1      n 27 2       do key ← A[j]                          c2      n - 1 28 3          Insert A[j] into the sorted sequence A[1 ‥ j - 1].     0...n - 1 29 4          i ← j - 1                           c4      n - 1 30 5          while i > 0 and A[i] > key           c5       31 6             do A[i + 1] ← A[i]               c6       32 7             i ← i - 1                        c7       33 8          A[i + 1] ← key                      c8      n - 1 34 */ 35 //已修正为插入排序,如下: 36 void insert_sort(int array[], int left, int loop_times) 37 { 38     for (int j = left; j < left+loop_times; j++) 39     { 40         int key = array[j]; 41         int i = j-1; 42         while ( i>left && array[i]>key ) 43         { 44             array[i+1] = array[i]; 45             i--; 46         } 47         array[i+1] = key; 48     } 49 } 50  51 int find_median(int array[], int left, int right) 52 { 53     if (left == right) 54         return array[left]; 55      56     int index; 57     for (index = left; index < right - 5; index += 5) 58     { 59         insert_sort(array, index, 4); 60         int num = index - left; 61         midian_array[num / 5] = array[index + 2]; 62     } 63      64     // 处理剩余元素 65     int remain_num = right - index + 1; 66     if (remain_num > 0) 67     { 68         insert_sort(array, index, remain_num - 1); 69         int num = index - left; 70         midian_array[num / 5] = array[index + remain_num / 2]; 71     } 72      73     int elem_aux_array = (right - left) / 5 - 1; 74     if ((right - left) % 5 != 0) 75         elem_aux_array++; 76      77     // 如果剩余一个元素返回,否则继续递归 78     if (elem_aux_array == 0) 79         return midian_array[0]; 80     else 81         return find_median(midian_array, 0, elem_aux_array); 82 } 83  84 // 寻找中位数的所在位置 85 int find_index(int array[], int left, int right, int median) 86 { 87     for (int i = left; i <= right; i++) 88     { 89         if (array[i] == median) 90             return i; 91     } 92     return -1; 93 } 94  95 int q_select(int array[], int left, int right, int k) 96 { 97     // 寻找中位数的中位数 98     int median = find_median(array, left, right); 99     100     // 将中位数的中位数与最右元素交换101     int index = find_index(array, left, right, median);102     swap(array[index], array[right]);103     104     int pivot = array[right];105     106     // 申请两个移动指针并初始化107     int i = left; 108     int j = right - 1;  109     110     // 根据枢纽元素的值对数组进行一次划分111     while (true)112     {  113         while(array[i] < pivot)114             i++;115         while(array[j] > pivot)116             j--;117         if (i < j) 118             swap(array[i], array[j]); 119         else   120             break;   121     }122     swap(array[i], array[right]); 123     124     /* 对三种情况进行处理:(m = i - left + 1)125     1、如果m=k,即返回的主元即为我们要找的第k小的元素,那么直接返回主元a[i]即可;126     2、如果m>k,那么接下来要到低区间A[0....m-1]中寻找,丢掉高区间;127     3、如果m<k,那么接下来要到高区间A[m+1...n-1]中寻找,丢掉低区间。128     */129     int m = i - left + 1;    130     if (m == k)131         return array[i];132     else if(m > k)  133         //上条语句相当于if( (i-left+1) >k),即if( (i-left) > k-1 ),于此就与2.2节里的代码实现一、二相对应起来了。134         return q_select(array, left, i - 1, k);  135     else  136         return q_select(array, i + 1, right, k - m);137 }138 139 int main()140 {141     //srand(unsigned(time(NULL)));142     //for (int j = 0; j < num_array; j++)143     //array[j] = rand();144     145     int array[num_array]={0,45,78,55,47,4,1,2,7,8,96,36,45};146     // 寻找第k最小数147     int k = 4;148     int i = q_select(array, 0, num_array - 1, k);149     cout << i << endl;150     151     return 0;152 }

 

最坏情况为线性时间的选择算法