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Sum of Remainders(数学题)

2024-08-15 17:05:49   220人阅读

 

F - Sum of Remainders

Time Limit:2000MS     Memory Limit:262144KB     64bit IO Format:%I64d & %I64u

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Description

Calculate the value of the sum: n mod 1 + n mod 2 + n mod 3 + ... + n mod m. As the result can be very large, you should print the value modulo 109 + 7 (the remainder when divided by 109 + 7).

The modulo operator a mod b stands for the remainder after dividing a by b. For example 10 mod 3 = 1.

Input

The only line contains two integers n, m (1 ≤ n, m ≤ 1013) — the parameters of the sum.

Output

Print integer s — the value of the required sum modulo 109 + 7.

Sample Input

Input
3 4
Output
4
Input
4 4
Output
1
Input
1 1
Output

0

 

//给你两个数n,m，问你n % 1 + n % 2 + … + n% m为几

这个题目的思路是，和为 n * m - sum ( [ n / i ] * i )  ，[ ] 是向下取整，i 从(1--- m) 

具体是:

前面的 n*m 肯定就这样了

主要是后面的 :将 [ n / i ] 相同的做一个区间，用求和公式去节省时间

i 从 1 --- sqrt (n) ;

l = n / ( i + 1 ) + 1 , r =  n / i ; // 这就是一个个的区间

比如 n = 20 , m = 20

i=1 -->  l=11, r=20   n / (11---20) 都是等于 1 

i=2 -->  l=7, r=10     n / (7---10) 都等于2

i=3 -->  l=r=6

i=4 -->  l=r=5

注意一些特殊情况，看注释

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 1 #include <iostream> 2 #include <cstdio> 3 #include <cmath> 4 using namespace std; 5  6 #define ll __int64 7 const ll MOD=1e9+7; 8  9 int main()10 {11     ll n,m;12     scanf("%I64d%I64d",&n,&m);13     ll ans=(n%MOD)*(m%MOD)%MOD;14     ll temp=0,las=m+1;//记录哪些数没被减15     m=min(n,m);//n 余大于 n 的都等于 n16     ll nn=(ll)sqrt(n*1.0);17     for (ll i=1;i<=nn;i++)18     {19         ll l = n/(i+1)+1;20         ll r = n/i;21 22         r=min(r,m);//可能 r 比 m 大23         if (l>r) continue;24 25         las=min(las,l);26 27         ll s1=l+r , s2 =(r-l+1);//这里高斯求和有个坑，要先判断哪个数可以除2，再乘28         if (s1%2==0) s1/=2;     //直接用公式也不对，会超出ll限制29         else s2/=2;30         s1%=MOD;s2%=MOD;31         s1=(s1*s2)%MOD;32         s1=s1*i%MOD;33         temp=(temp+s1)%MOD;34     }35     ans=(ans+MOD-temp)%MOD;36     for (ll i=1;i<las;i++) //剩下的没被减得数，将n余之为0的最大整数减去37     {38         temp=n/i%MOD*i%MOD;39         ans=(ans+MOD-temp)%MOD;40     }41     printf("%I64d\n",ans);42 43     return 0;44 }
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