搜索树数据结构支持许多动态集合操作，如search（查找）、minmum（最小元素）、maxmum（最大元素）、predecessor（前驱）、successor（后继）、insert（插入）、delete（删除），这些都是基本操作，可以使用一颗搜索树当做一个字典或者一个优先队列。

12.1、什么事二叉搜索树

二叉搜索树是以一棵二叉树来组织的，可以用一个链表数据结构来表示，也叫二叉排序树、二叉查找树；

其中的每个结点都是一个对象，每个对象含有多个属性（key：该结点代表的值大小，卫星数据：不清楚，left：左孩子结点，right：右孩子结点，p：双亲，貌似是单亲）。

如果某个孩子结点和父结点不存在，则相应属性值为NULL；

根结点是树中唯一父指针为NULL的结点。

二叉搜索树的性质：

设x是二叉搜索树中的一个结点，若y是x左子树中的一个结点，则y.key <= x.key；若y是x右子树中的一个结点，则y.key >= x.key;

通俗讲就是二叉搜索树中的任意一个结点的做孩子结点值不大于该结点，右孩子结点的值不小于改结点。

二叉搜索树的关键字都是按照二叉搜索树性质的方式存储的，即只要一个数是二叉搜索树，则必须满足上述性质。

不同的二叉搜索树可以代表同一组值的集合。

二叉搜索树的性质允许我们通过一个简单递归算法来按序输出二叉搜索树中的所有关键字（遍历时，从根结点开始遍历），根据递归时子树根的关键字与其左右子树关键字输出顺序的不同，分三种便利方式：

若递归遍历时输出的子树根的关键字位于其左子树的关键字和右子树的关键之间，则称为中序遍历。

若递归遍历时输出的子树根的关键字位于其左子树的关键字和右子树的关键之前，则称为先序遍历。

若递归遍历时输出的子树根的关键字位于其左子树的关键字和右子树的关键之后，则称为后序遍历。

中序遍历的简单递归过程为：

middleOrder (x){

 if(x != null)

    middleOrder (x.left);

    print x.key;

    middleOrder (x.right);

}

先序遍历的简单递归过程为：

preOrder (x){

 if(x != null)

    print x.key;

    preOrder (x.left);

    preOrder (x.right);

中序遍历的简单递归过程为：

afterOrder (x){

 if(x != null)

    afterOrder (x.left);

    afterOrder (x.right);

    print x.key;

举例如下图：

中序遍历分析：

1、根据中序递归的执行过程，可判断从最左下方开始输出，2,5（6的左孩子的关键字，此时为子树根）,5，这三个数分别是左孩子，子树根，右孩子，按照中序遍历的定义，则输出顺序为2、5（子树根）、5（右孩子）

2、5、6、7三个类似，输出5、6、7

3、7无左孩子，则直接输出7、8

最后结果为：2、5（6的左孩子的关键字）、5（6的左孩子的右孩子）、6、7、8

先序遍历方式为：根据先序递归的过程，先输出子树根结点，再递归遍历其左子树和右子树结点，结果为：6、5（6的左孩子）、2、5（6的左孩子的右孩子）、7、8

后序遍历方式为：根据后序递归的过程，先输出子树根的左右结点，再输出子树根结点，结果为：2、5（6的左孩子的右孩子）、5、5（6的左孩子）、8、7、6

关键点：可想象递归程序的执行过程，来判断输出结果。

定理：如果x是一棵有n个结点子树的根，那么调用middleOrder（x）需要Θ（n）时间，同理preOrder和afterOrder也是Θ（n）时间。

定理分析：证明该递归算法需要Θ（n）时间，则需要证明Ω（n）<=T（n）<=Ο（n）

遍历单个结点时间假设为常量，则因为需要遍历n个结点，所以T（n）>= Ω（n），即最少需要时间为n的线性函数，系数和常数项省略，Ω简单说表示所需时间的下界。

T（n）<=Ο（n）证明省略。

练习：

12.1-1 对于关键字集合{1、4、5、10、16、17、21}，分别画出高度为2、3、4、5、6的二叉搜索树。

分析：如下图：

2、待续，