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第十二章 二叉搜索树
摘要：
本章介绍了二叉查找树的概念及操作。主要内容包括二叉查找树的性质，如何在二叉查找树中查找最大值、最小值和给定的值，如何找出某一个元素的前驱和后继，如何在二叉查找树中进行插入和删除操作。在二叉查找树上执行这些基本操作的时间与树的高度成正比，一棵随机构造的二叉查找树的期望高度为O(lgn)，从而基本动态集合的操作平均时间为θ(lgn)。
1、二叉查找树
二叉查找树是按照二叉树结构来组织的，因此可以用二叉链表结构表示。二叉查找树中的关键字的存储方式满足的特征是：设x为二叉查找树中的一个结点。如果y是x的左子树中的一个结点，则key[y]≤key[x]。如果y是x的右子树中的一个结点，则key[x]≤key[y]。根据二叉查找树的特征可知，采用中根遍历一棵二叉查找树，可以得到树中关键字有小到大的序列。一棵二叉树查找及其中根遍历结果如下图所示：
书中给出了一个定理：如果x是一棵包含n个结点的子树的根，则其中根遍历运行时间为θ(n)。
问题：二叉查找树性质与最小堆之间有什么区别？能否利用最小堆的性质在O(n)时间内，按序输出含有n个结点的树中的所有关键字？
2、查询二叉查找树
二叉查找树中最常见的操作是查找树中的某个关键字，除了基本的查询，还支持最大值、最小值、前驱和后继查询操作，书中就每种查询进行了详细的讲解。
（1）查找SEARCH
在二叉查找树中查找一个给定的关键字k的过程与二分查找很类似，根据二叉查找树在的关键字存放的特征，很容易得出查找过程：首先是关键字k与树根的关键字进行比较，如果k大比根的关键字大，则在根的右子树中查找，否则在根的左子树中查找，重复此过程，直到找到与遇到空结点为止。例如下图所示的查找关键字13的过程：（查找过程每次在左右子树中做出选择，减少一半的工作量）
书中给出了查找过程的递归和非递归形式的伪代码：
TREE_SEARCH(x,k) if x=NULL or k=key[x] then return x if(k<key[x]) then return TREE_SEARCH(left[x],k) else then return TREE_SEARCH(right[x],k)
非递归
ITERATIVE_TREE_SEARCH(x,k) while x!=NULL and k!=key[x] do if k<key[x] then x=left[x] else then x=right[x] return x
（2）查找最大关键字和最小关键字
根据二叉查找树的特征，很容易查找出最大和最小关键字。查找二叉树中的最小关键字：从根结点开始，沿着各个节点的left指针查找下去，直到遇到NULL时结束。如果一个结点x无左子树，则以x为根的子树中，最小关键字就是key[x]。查找二叉树中的最大关键字：从根结点开始，沿着各个结点的right指针查找下去，直到遇到NULL时结束。书中给出了查找最大最小关键字的伪代码：
查找最小关键字
TREE_MINMUM(x) while left[x] != NULL do x=left[x] return x
查找最大关键字
TREE_MAXMUM(x) while right[x] != NULL do x= right[x] return x
（3）前驱和后继
给定一个二叉查找树中的结点，找出在中序遍历顺序下某个节点的前驱和后继。如果树中所有关键字都不相同，则某一结点x的前驱就是小于key[x]的所有关键字中最大的那个结点，后继即是大于key[x]中的所有关键字中最小的那个结点。根据二叉查找树的结构和性质，不用对关键字做任何比较，就可以找到某个结点的前驱和后继。
查找前驱步骤：先判断x是否有左子树，如果有则在left[x]中查找关键字最大的结点，即是x的前驱。如果没有左子树，则从x继续向上执行此操作，直到遇到某个结点是其父节点的右孩子结点。例如下图查找结点7的前驱结点6过程：
查找后继步骤：先判断x是否有右子树，如果有则在right[x]中查找关键字最小的结点，即使x的后继。如果没有右子树，则从x的父节点开始向上查找，直到遇到某个结点是其父结点的左儿子的结点时为止。例如下图查找结点13的后继结点15的过程：
书中给出了求x结点后继结点的伪代码:
TREE_PROCESSOR(x) if right[x] != NULL then return TREE_MINMUM(right(x)) y=parent[x] while y!= NULL and x ==right[y] do x = y y=parent[y] return y
定理：对一棵高度为h的二叉查找，动态集合操作SEARCH、MINMUM、MAXMUM、SUCCESSOR、PROCESSOR等的运行时间均为O(h)。
3、插入和删除
插入和删除会引起二叉查找表示的动态集合的变化，难点在在插入和删除的过程中要保持二叉查找树的性质。插入过程相当来说要简单一些，删除结点比较复杂。
（1）插入
插入结点的位置对应着查找过程中查找不成功时候的结点位置，因此需要从根结点开始查找带插入结点位置，找到位置后插入即可。下图所示插入结点过程：
书中给出了插入过程的伪代码：
TREE_INSERT(T,z) y = NULL; x =root[T] while x != NULL do y =x if key[z] < key[x] then x=left[x] else x=right[x] parent[z] =y if y=NULL then root[T] =z else if key[z]>key[y] then keft[y] = z else right[y] =z
插入过程运行时间为O(h)，h为树的高度。
（2）删除
从二叉查找树中删除给定的结点z，分三种情况讨论：
<1>结点z没有左右子树，则修改其父节点p[z]，使其为NULL。删除过程如下图所示：
<2>如果结点z只有一个子树（左子树或者右子树），通过在其子结点与父节点建立一条链来删除z。删除过程如下图所示：
<3>如果z有两个子女，则先删除z的后继y（y没有左孩子），在用y的内容来替代z的内容。
书中给出了删除过程的伪代码：
TREE_DELETE(T,z) if left[z] ==NULL or right[z] == NULL then y=z else y=TREE_SUCCESSOR(z) if left[y] != NULL then x=left[y] else x=right[y] if x!= NULL then parent[x] = parent[y] if p[y] ==NULL then root[T] =x else if y = left[[prarnt[y]] then left[parent[y]] = x else right[parent[y]] =x if y!=z then key[z] = key[y] copy y‘s data into z return y
定理：对高度为h的二叉查找树，动态集合操作INSERT和DELETE的运行时间为O(h)。
4、实现测试
采用C++语言实现一个简单的二叉查找树，支持动态集合的基本操作：search、minmum、maxmum、predecessor、successor、insert和delete。设计的二叉查找树结构如下所示：
#include<iostream>#include<stack>#include<cstdlib>using namespace std;typedef struct BinarySearchTreeNode{ int elem; struct BinarySearchTreeNode *parent; struct BinarySearchTreeNode *left; struct BinarySearchTreeNode *right;}BinarySearchTreeNode,*BinarySearchTree;//初始化二叉树void init_binary_tree(BinarySearchTree *root){ *root=NULL;}//非递归void TreeInsert(BinarySearchTree *root,int z){ BinarySearchTree y=NULL,x; if(*root==NULL) { *root=(BinarySearchTree)malloc(sizeof(BinarySearchTreeNode)); (*root)->elem=z; (*root)->left=(*root)->right=NULL; (*root)->parent=NULL; return; } x=*root; while(x) { //y用来记录父节点 y=x; if(z<x->elem) x=x->left; else x=x->right; } BinarySearchTree p=(BinarySearchTree)malloc(sizeof(BinarySearchTreeNode)); p->elem=z; p->parent=y; p->left=p->right=NULL; if(z<y->elem) y->left=p; else y->right=p;}//递归void tree_insert(BinarySearchTree *root,int z){ if(*root==NULL) { *root=(BinarySearchTree)malloc(sizeof(BinarySearchTreeNode)); (*root)->elem=z; (*root)->left=(*root)->right=(*root)->parent=NULL; return; } if((*root)->left==NULL&&z<(*root)->elem) { BinarySearchTree p=(BinarySearchTree)malloc(sizeof(BinarySearchTreeNode)); p->elem=z; p->left=p->right=NULL; p->parent=*root; (*root)->left=p; return; } if((*root)->right==NULL&&z>(*root)->elem) { BinarySearchTree p=(BinarySearchTree)malloc(sizeof(BinarySearchTreeNode)); p->elem=z; p->left=p->right=NULL; p->parent=*root; (*root)->right=p; return; } if(z<(*root)->elem) TreeInsert(&((*root)->left),z); else TreeInsert(&((*root)->right),z);}void CreateBSTree(BinarySearchTree *root,int length){ cout<<"create BST tree:"<<endl; for(int i=0;i<length;i++) { int key; cin>>key; tree_insert(root,key); }}//递归void inorder_tree_walk(BinarySearchTree root){ if(root) { inorder_tree_walk(root->left); cout<<root->elem<<" "; inorder_tree_walk(root->right); }}//非递归中序遍历void inoder(BinarySearchTree root){ stack<BinarySearchTree> s; while(root||!s.empty()) { if(root) { s.push(root); root=root->left; } else { BinarySearchTree tmpnode=s.top(); cout<<tmpnode->elem<<" "; s.pop(); root=root->right; } }}//递归查找BinarySearchTree tree_search(BinarySearchTree root,int key){ if(root==NULL||root->elem==key) return root; if(key<root->elem) return tree_search(root->left,key); else return tree_search(root->right,key);}//非递归查找BinarySearchTree TreeSearch(BinarySearchTree root,int key){ if(root==NULL||root->elem==key) return root; while(root&&root->elem!=key) { if(key<root->elem) { root=root->left; } else root=root->right; } return root;}//非递归查找最小值BinarySearchTree TreeMinimum(BinarySearchTree root){ if(root==NULL||!root->left) return root; while(root->left) root=root->left; return root;}//非递归查找最大值BinarySearchTree TreeMaximum(BinarySearchTree root){ if(root==NULL||root->left) return root; while(root->right) root=root->right; return root;}//找后继BinarySearchTree TreeSuccessor(BinarySearchTree x){ if(x->right) return TreeMinimum(x->right); BinarySearchTree parent; parent=x->parent; while(parent&&parent->right==x) { x=parent; parent=parent->parent; } return parent;}//找前驱BinarySearchTree TreePredecessor(BinarySearchTree x){ if(x->left) return TreeMaximum(x->left); BinarySearchTree parent; parent=x->parent; while(parent&&x==parent->left) { x=parent; parent=parent->parent; } return parent;}//删除int TreeDelete(BinarySearchTree *root,int z){ BinarySearchTree pnode,snode; pnode=TreeSearch(*root,z); if(pnode!=NULL) { BinarySearchTree parentnode=pnode->parent; if(pnode->left==NULL||pnode->right==NULL) { if(pnode->left) { if(parentnode->left==pnode) parentnode->left=pnode->left; else parentnode->right=pnode->left; pnode->left->parent=parentnode; } else if(pnode->right) { if(parentnode->left==pnode) parentnode->left=pnode->right; else parentnode->right=pnode->right; pnode->right->parent=parentnode; } else { if(parentnode->left==pnode) parentnode->left=NULL; else parentnode->right=NULL; } free(pnode); } else { snode=TreeSuccessor(pnode); pnode->elem=snode->elem; if(snode==snode->parent->left) { snode->parent->left=snode->right; snode->right->parent=snode->parent; cout<<"delete left:"<<endl; cout<<snode->right->parent->elem<<endl; } if(snode==snode->parent->right) { snode->parent->right=snode->right; snode->right->parent=snode->parent; cout<<"delete right:"<<endl; cout<<snode->right->parent->elem<<endl; } free(snode); } return(0); } return(1);}int main(){ BinarySearchTree root; init_binary_tree(&root); CreateBSTree(&root,10); cout<<"中序遍历："; inorder_tree_walk(root); cout<<endl; cout<<"delete node:"<<endl; TreeDelete(&root,4); cout<<endl; inorder_tree_walk(root);}
5、随机构造二叉查找树
二叉查找上各种基本操作的运行时间都是O(h)，h为树的高度。但是在元素插入和删除过程中，树的高度会发生改变。如果n个元素按照严格增长的顺序插入，那个构造出的二叉查找树的高度为n-1。例如按照先后顺序插入7、15、18、20、34、46、59元素构造二叉查找树，二叉查找树结构如下所示：
第十二章 二叉搜索树