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数据结构与算法（二叉树）
二叉树的存储结构
二叉树的存储可分为两种：顺序存储结构和链式存储结构。
1. 顺序存储结构
把一个满二叉树自上而下、从左到右顺序编号，依次存放在数组内，可得到图6.8(a)所示的结果。设满二叉树结点在数组中的索引号为i，那么有如下性质。
（1） 如果i = 0，此结点为根结点，无双亲。
（2） 如果i > 0，则其双亲结点为(i -1) / 2 。（注意，这里的除法是整除，结果中的小数部分会被舍弃。）
（3） 结点i的左孩子为2i + 1，右孩子为2i + 2。
（4） 如果i > 0，当i为奇数时，它是双亲结点的左孩子，它的兄弟为i + 1；当i为偶数时，它是双新结点的右孩子，它的兄弟结点为i – 1。
（5） 深度为k的满二叉树需要长度为2 k-1的数组进行存储。
通过以上性质可知，使用数组存放满二叉树的各结点非常方便，可以根据一个结点的索引号很容易地推算出它的双亲、孩子、兄弟等结点的编号，从而对这些结点进行访问，这是一种存储二叉满二叉树或完全二叉树的最简单、最省空间的做法。
为了用结点在数组中的位置反映出结点之间的逻辑关系，存储一般二叉树时，只需要将数组中空结点所对应的位置设为空即可，其效果如图6.8(b)所示。这会造成一定的空间浪费，但如果空结点的数量不是很多，这些浪费可以忽略。
一个深度为k的二叉树需要2 k-1个存储空间，当k值很大并且二叉树的空结点很多时，最坏的情况是每层只有一个结点，再使用顺序存储结构来存储显然会造成极大地浪费，这时就应该使用链式存储结构来存储二叉树中的数据。
1. 链式存储结构
二叉树的链式存储结构可分为二叉链表和三叉链表。二叉链表中，每个结点除了存储本身的数据外，还应该设置两个指针域left和right，它们分别指向左孩子和右孩子（如图6.9(a)所示）。
当需要在二叉树中经常寻找某结点的双亲，每个结点还可以加一个指向双亲的指针域parent，如图6.9(b)所示，这就是三叉链表。
图6.10所示的是二叉链表和三叉链表的存储结构，其中虚线箭头表示parent指针所指方向。
二叉树还有一种叫双亲链表的存储结构，它只存储结点的双亲信息而不存储孩子信息，由于二叉树是一种有序树，一个结点的两个孩子有左右之分，因此结点中除了存放双新信息外，还必须指明这个结点是左孩子还是右孩子。由于结点不存放孩子信息，无法通过头指针出发遍历所有结点，因此需要借助数组来存放结点信息。图6.10(a)所示的二叉树使用双亲链表进行存储将得到图6.11所示的结果。由于根节点没有双新，所以它的parent指针的值设为-1。
双亲链表中元素存放的顺序是根据结点的添加顺序来决定的，也就是说把各个元素的存放位置进行调换不会影响结点的逻辑结构。由图6.11可知，双亲链表在物理上是一种顺序存储结构。
二叉树存在多种存储结构，选用何种方法进行存储主要依赖于对二叉树进行什么操作来确定。而二叉链表是二叉树最常用的存储结构，下面几节给出的有关二叉树的算法大多基于二叉链表存储结构。
6.3 二叉树的遍历
二叉树遍历（Traversal）就是按某种顺序对树中每个结点访问且只能访问一次的过程。访问的含义很广，如查询、计算、修改、输出结点的值。树遍历本质上是将非线性结构线性化，它是二叉树各种运算和操作的实现基础，需要高度重视。
6.3.1 二叉树的深度优先遍历
图6.12二叉树的递归定义 |
D |
L |
R |
我们是用递归的方法来定义二叉树的。每棵二叉树由结点、左子树、右子树这三个基本部分组成，如果遍历了这三部分，也就遍历了整个二叉树。如图6.12所示，D为二叉树中某一结点，L、R分别为结点D的左、右子树，则其遍历方式有6种：
先左后右 先右后左
先序 DLR DRL
中序 LDR RDL
后序 LRD RLD
这里只讨论先左后右的三种遍历算法。
如图6.13所示，在沿着箭头方向所指的路径对二叉树进行遍历时，每个节点会在这条搜索路径上会出现三次，而访问操作只能进行一次，这时就需要决定在搜索路径上第几次出现的结点进行访问操作，由此就引出了三种不同的遍历算法。
1. 先序遍历
若二叉树为非空，则过程为：
（1） 访问根节点。
（2） 先序遍历左子树。
（3） 先序遍历右子树。
图6.13中，先序遍历就是把标号为(1)的结点按搜索路径访问的先后次序连接起来，得出结果为：ABDECF。
2. 中序遍历
若二叉树为非空，则过程为：
（1） 按中序遍历左子树。
（2） 访问根结点。
（3） 按中序遍历右子树。
图6.13中，先序遍历就是把标号为(2)的结点按搜索路径访问的先后次序连接起来，得出结果为：DBEACF。
3. 后序遍历
若二叉树为非空，则过程为：
（1） 按后序遍历左子树。
（2） 按后序遍历右子树
（3） 访问根结点。
图6.13中，先序遍历就是把标号为(3)的结点按搜索路径访问的先后次序连接起来，得出结果为：DEBFCA。
using System;using System.Collections.Generic;namespace NET.MST.Thirteenth.BinaryTree{ class MainClass { /// <summary> /// 测试二叉树，和其中序、后序遍历 /// </summary> static void Main(string[] args) { int[] data = http://www.mamicode.com/new int[] { 6, 1, 3, 9, 2, 7, 11 }; BinaryTree root = BinaryTree.GenerateBinaryTree(data); Console.Write("中序遍历："); root.InOrder(); Console.Write("\r\n"); Console.Write("后序遍历："); root.LastOrder(); Console.Write("\r\n"); Console.Read(); } } /// <summary> /// 二叉树的实现 /// </summary> partial class BinaryTree { //左子树指针 private BinaryTree _left = null; //右子树指针 private BinaryTree _right = null; //节点的值，这里以整数表示 private int _value; /// <summary> /// 构造方法，左右子树设为null /// </summary> /// <param name="val">节点值</param> public BinaryTree(int val) { _value = val; } /// <summary> /// 构造方法 /// </summary> /// <param name="val">节点值</param> /// <param name="left">左子树指针</param> /// <param name="right">右子树指针</param> public BinaryTree(int val, BinaryTree left, BinaryTree right) { _value = val; _left = left; _right = right; } //读写属性 public BinaryTree Left { get { return _left; } set { _left = value; } } public BinaryTree Right { get { return _right; } set { _right = value; } } public int Value { get { return _value; } set { _value = value; } } } /// <summary> /// 二叉树的生成和插入 /// </summary> partial class BinaryTree { /// <summary> /// 静态方法用以从一个数组生成一颗二叉树 /// 这里采用的是有序的插入 /// </summary> /// <param name="data">输入数组</param> /// <returns>返回根节点</returns> public static BinaryTree GenerateBinaryTree(int[] data) { //确保数组非空 if (data.Length <= 0) return null; //生成根节点 BinaryTree root = new BinaryTree(data[0]); //确保需要生成左子树或者右子树 if (data.Length <= 1) return root; //逐一插入整个数组 for (int i = 1; i < data.Length; i++) root.InsertElement(data[i]); return root; } /// <summary> /// 有序地插入元素，插入的结果是中序遍历该二叉树可以获得一个有序序列 /// </summary> /// <param name="val">需要插入的值</param> public void InsertElement(int val) { //需要插在左子树中 if (val <= _value) { //左子树为空，插入新元素 if (_left == null) { BinaryTree node = new BinaryTree(val); _left = node; } //左子树非空，递归 else _left.InsertElement(val); } //需要插在右子树中 else { //右子树为空，插入新元素 if (_right == null) { BinaryTree node = new BinaryTree(val); _right = node; } //右子树非空，递归 else _right.InsertElement(val); } } } /// <summary> /// 遍历二叉树 /// </summary> partial class BinaryTree { /// <summary> /// 中序遍历二叉树 /// </summary> public void InOrder() { //使用递归算法 if (_left != null) _left.InOrder(); Console.Write("{0}，", _value); if (_right != null) _right.InOrder(); } /// <summary> /// 后序遍历二叉树 /// </summary> public void LastOrder() { //使用递归算法 if (_left != null) _left.LastOrder(); if (_right != null) _right.LastOrder(); Console.Write("{0}，", _value); } }}