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浅谈单调队列：死海不是海，单调队列不是队列

2024-09-15 16:46:25   219人阅读

1.滑动窗口最值问题

给定一个长度为n的序列a1,a2,…ai,…,an，将一个长为k的滑动窗口自序列最左端向右边滑动。例如：初始时，窗口内的子序列为a1,a2,…,ak；当窗口向右滑动一位，此时窗口内的子序列变为a2,a3,…,ak+1。

我们要解决的问题是，给定长度为n的序列以及滑动窗口的大小k，求每一个滑动窗口内的最小值和最大值。

以长度为5的序列1, 3, 4, 5, 7滑动窗口k=3为例说明： 

第1个滑动窗口（1, 3, 4）的最小值、最大值分别为1和4；

第2个滑动窗口（3, 4, 5）的最小值、最大值分别为3和5；

第3个滑动窗口（4, 5, 7）的最小值、最大值分别为4和7。

2.一些可行的解决思路

最直接的思路，可以枚举所有窗口（一共n-k+1个），扫描窗口内的每一个元素求其最值。
整个算法的时间复杂度是O(n*k)，当数据规模较大的时候（如n=10^6，k=10^4），该算法耗时较长。

另一个容易想到的思路，将序列建线段树（或者树状数组等等），该过程的时间复杂度是O(n*logn)，再通过n-k+1次查询区间最值求每个窗口对应区间的最大（小）值。整体时间复杂度是O(n*logn)。

3.单调队列：更优美的思路

一种更加优美的解决方法是单调队列。那么，我们就来一起揭开「单调队列」的神秘面纱吧。

首先，第一个问题来了：单调队列是队列——吗？
字面上去理解的话，单调队列肯定是队列，没毛病。不然为啥不叫单调栈呢。
但是，初中地理老师有言在先：死海不是海，是湖泊，还是世界上最低的湖泊。为毛不起个「死湖」的名字？！这个……就自行google/baidu吧。
扯远了，扯回来。
单调队列，从严格意义上讲还真不是「队列」。
什么是队列呢？就是一中FIFO（First In First Out）的数据结构。所有要入队的元素，统一从队尾入队，再从队首出队。
但是，「单调队列」却不是一种FIFO的数据结构。在单调队列中，为了维护队列内元素的「单调」性，所有要入队的元素，统一从队尾入队，再从对首出队，也可以从对尾直接出队。

4.单调队列的基本操作

听起来有点玄乎，先来看看单调队列（以递增队列为例）有哪些基本的操作。

1.入队（push_back）：对于待入队的元素，为维护队列的递增性，如果队尾元素值大于待入队元素，则将对尾元素从队列中弹出，重复此操作，直到队列为空或者队尾元素小于待入队元素。然后，再把待入队元素添加到队列末尾。

2.出队（pop）：分被动的出队（为维护队列单调性，将元素从队尾弹出）和主动的出队（和传统的队列一样，从队首出；但是有讲究，正是这个讲究让滑动窗口最值问题得以解决）。

5.利用单调队列求解滑动窗口最值问题

下面，一起来看看如何利用单调（递增）队列来解决滑动窗口的最（小）值问题。

以长度为6的序列1, 3, 4, 5, 7, 2和滑动窗口k=3为例：

1）1入队，入队后队列变为[1]；

2）3入队，3大于队尾元素1，入队后队列变为[1, 3]；

3）4入队，4大于队尾元素3，入队后队列变为[1, 3, 4]；

从4开始，已经形成了第1个滑动窗口，窗口内最小值就是队首元素1。

4）5入队，5大于队尾元素4，入队后队列变为[1, 3, 4, 5]；

这时，队内有4个元素，求第2个滑动窗口内最小值的策略是：

取出队首元素，如果该元素不在滑动窗口内，则将其从队列中弹出，继续取新的对首元素，直到队首元素出现在窗口内；此时，队首元素即为窗口最小值。

这也就是出队操作的「讲究」之处。

在求得第2个滑动窗口的最小值后，1由于不在滑动窗口内被弹出，队列变为[3, 4, 5]；

5）7入队，7大于队尾元素5，入队后队列变为[3, 4, 5, 7]；

求得第3个滑动窗口的最小值，3由于不在窗口内出队，4在窗口内，所以4为第3个窗口的最小值。队列变为[4, 5, 7]。

6）2入队，为维护队列的单调性，依次弹出7, 5, 4，完成入队后，队列变为[2]。

求得第4个滑动窗口最小值为2，队列保持不变，依然为[2]。

6.时间复杂度

理解单调队列的核心之一在于，所有被动的出队（在队尾被弹出）的元素，都不可能是当前所求窗口的最值。

由于序列中的每个元素只可能入队1次，最多也可能出队1次，所以均摊下来，用单调队列求滑动窗口内最小值的算法时间复杂度是O(n)。

类似地，也可以利用单调递减队列来求得滑动窗口内的最大值问题。

单调队列的一个更加实用的用途，就是利用其滑动窗口最值优化动态规划问题的时间复杂度。

另外，关于这个问题，你可以在这里小试牛刀。

7.c++源码实现

 1 #include <iostream>
 2 #include <vector>
 3 #include <deque>
 4 #include <cstdio>
 5 
 6 #define MAXN 10010
 7 
 8 class Data {
 9 public:
10     int val;
11     int idx;
12     Data() { val = idx =  0; }
13     Data(int x, int y):val(x), idx(y){}
14 };
15 
16 class OrderedQueue {
17 private:
18     Data que[MAXN]; //在部分机器上（如POJ的环境上，MAXN为10^6时，会出现Runtime Error，一种可行的方法是将其设置为全局变量（由于封装差，因此不提供这个版本的代码）.
19     int front;
20     int back;
21     int window_size;
22     // true -> increasing(not strictly)
23     // false -> decreasing(not strictly)
24     bool order;
25 public:
26     OrderedQueue();
27     OrderedQueue(int window_size, bool order);
28     void push_back(Data d);
29     Data get_window_front(int pos);
30     void clear();
31     bool empty();
32 };
33 
34 OrderedQueue::OrderedQueue() {
35     window_size = 3;
36     order = true;
37     clear();
38 }
39 
40 OrderedQueue::OrderedQueue(int window_size, bool order) {
41     this->window_size = window_size;
42     this->order = order;
43     clear();
44 }
45 
46 void OrderedQueue::clear() {
47     front = back = 0;
48 }
49 
50 bool OrderedQueue::empty() {
51     return front == back;
52 }
53 
54 void OrderedQueue::push_back(Data d) {
55     while (front < back) {
56         Data tail = que[back - 1];
57         bool tag = order ? d.val > tail.val : d.val < tail.val;
58         if (tag) {
59             break;
60         } else {
61             back--;
62         }
63     }
64     que[back++] = d;
65 }
66 
67 Data OrderedQueue::get_window_front(int pos) {
68     while (front < back && que[front].idx < pos - window_size + 1) {
69         front++;
70     }
71     return que[front];
72 }
73 
74 
75 int main() {
76     int a[8] = {1, 3, -1, -3, 5, 3, 6, 7};
77     int wsize = 3;
78     OrderedQueue oq1 = OrderedQueue(wsize, true);
79     OrderedQueue oq2 = OrderedQueue(wsize, false);
80     for (int i = 0; i < 8; i++) {
81         oq1.push_back(Data(a[i], i));
82         oq2.push_back(Data(a[i], i));
83         if (i + 1 >= wsize) {
84             std::cout << "在区间[" << (i - wsize + 1) << "," << i << "]内的最小值为" <<  oq1.get_window_front(i).val << std::endl;
85             std::cout << "在区间[" << (i - wsize + 1) << "," << i << "]内的最大值为" <<  oq2.get_window_front(i).val << std::endl;
86         }
87     }
88     return 0;
89 }

8.如果可以……

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