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C++与正态分布

2024-07-28 23:13:26   214人阅读

正态分布（Normal distribution）又名高斯分布（Gaussiandistribution）。若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ^2的高斯分布，记为N(μ，σ^2)。其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。我们通常所说的标准正态分布是μ = 0,σ = 1的正态分布。

 

从上图可以看出,当相差1个方差(σ), 满足要求的面积有68.27%.

当相差2个方差(σ)时,满足要求的面积有95.45.

当相差3个方差(σ)时,满足要求的面积有99.73%.

满足标准正态分的曲线,可以查表来求得正态分布的幅度.(见文后所附表格)

方差（Variance）,是各个数据分别与其和的平均数之差的平方的和的平均数，用字母D表示。在概率论和数理统计中，方差用来度量随机变量和其数学期望（即均值）之间的偏离程度。

标准差（StandardDeviation），是离均差平方和平均后的方根，用σ表示。标准差是方差的算术平方根。标准差能反映一个数据集的离散程度。

测试代码:

  1 // NormalDistribution.cpp : Defines the entry point for the console application.   2 //   3 #include <stdio.h>   4 #include <tchar.h>   5 #include <iostream>   6 #include <windows.h>   7 #include <algorithm>   8 #define _USE_MATH_DEFINES   9 #include <math.h>  10 using namespace std;  11  12  13 // 高斯分布随机数系列,默认期望值为0,方差为1 14 double GaussRand(double dExpect = 0, double dVariance = 1); 15 double GaussRand(double dExpect, double dVariance) 16 { 17     static double V1, V2, S; 18     static int phase = 0; 19     double X; 20  21     if ( phase == 0 ) 22     { 23         do 24         { 25             double U1 = (double)rand() / RAND_MAX; 26             double U2 = (double)rand() / RAND_MAX; 27  28             V1 = 2 * U1 - 1; 29             V2 = 2 * U2 - 1; 30             S = V1 * V1 + V2 * V2; 31         } while(S >= 1 || S == 0); 32  33         X = V1 * sqrt(-2 * log(S) / S); 34     } 35     else 36     { 37         X = V2 * sqrt(-2 * log(S) / S); 38     } 39  40     phase = 1 - phase; 41  42     return (X*dVariance + dExpect); 43 } 44  45 int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])  46 {  47     const int DATA_CNT = 100000;  48     double dArrData[DATA_CNT] = {0};  49  50     double dSum = 0;  51  52     // 对所有数赋随机数,默认期望值为0,方差为1 53     srand(GetTickCount());  54     for (int nIdx = 0; nIdx < DATA_CNT; nIdx++)  55     {  56         // 防止计算方差时数值过大  57         dArrData[nIdx] = GaussRand();  58         dSum += dArrData[nIdx];  59     }  60  61     // 求平均数  62     double dAverageData = http://www.mamicode.com/dSum / DATA_CNT;  63  64     // 计算所有的数的方差(各个数据分别与其和的平均数之差的平方的和的平均数)  65     double dVariance = 0.0;  66     for (int nIdx = 0; nIdx < DATA_CNT; nIdx++)  67     {  68         double dDeviate = dArrData[nIdx] - dAverageData;  69         dVariance += pow(dDeviate, 2);  70     }  71     dVariance /= DATA_CNT;  72  73     // 计算标准差(方差的算术平方根,反映一组数据的离散程序)  74     double dStandardDeviation = sqrt(dVariance);  75  76     // 计算0.5个正负标准差之间包含的数字个数  77     int nDataCnt = 0;  78     for (int nIdx = 0; nIdx < DATA_CNT; nIdx++)  79     {  80         double dDeviate = dArrData[nIdx] - dAverageData;  81         if (abs(dDeviate) <= 0.5*dStandardDeviation)  82         {  83             nDataCnt++;  84         }  85     }  86     cout<<nDataCnt<<endl;  87  88     // 计算1个正负标准差之间包含的数字个数  89     nDataCnt = 0; 90     for (int nIdx = 0; nIdx < DATA_CNT; nIdx++)  91     {  92         double dDeviate = dArrData[nIdx] - dAverageData;  93         if (abs(dDeviate) <= dStandardDeviation)  94         {  95             nDataCnt++;  96         }  97     }  98     cout<<nDataCnt<<endl;  99 100     // 计算2个正负标准差之间包含的数字个数 101     nDataCnt = 0;102     for (int nIdx = 0; nIdx < DATA_CNT; nIdx++) 103     { 104         double dDeviate = dArrData[nIdx] - dAverageData; 105         if (abs(dDeviate) <= 2*dStandardDeviation) 106         { 107             nDataCnt++; 108         } 109     } 110     cout<<nDataCnt<<endl; 111 112     // 计算3个正负标准差之间包含的数字个数 113     nDataCnt = 0;114     for (int nIdx = 0; nIdx < DATA_CNT; nIdx++) 115     { 116         double dDeviate = dArrData[nIdx] - dAverageData; 117         if (abs(dDeviate) <= 3*dStandardDeviation) 118         { 119             nDataCnt++; 120         } 121     } 122     cout<<nDataCnt<<endl; 123 124     return 0; 125 }

 

(附)标准正态分布表

φ( - x ) = 1 –φ( x )

           

x

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0

0.500 0

0.504 0

0.508 0

0.512 0

0.516 0

0.519 9

0.523 9

0.527 9

0.531 9

0.535 9

0.1

0.539 8

0.543 8

0.547 8

0.551 7

0.555 7

0.559 6

0.563 6

0.567 5

0.571 4

0.575 3

0.2

0.579 3

0.583 2

0.587 1

0.591 0

0.594 8

0.598 7

0.602 6

0.606 4

0.610 3

0.614 1

0.3

0.617 9

0.621 7

0.625 5

0.629 3

0.633 1

0.636 8

0.640 4

0.644 3

0.648 0

0.651 7

0.4

0.655 4

0.659 1

0.662 8

0.666 4

0.670 0

0.673 6

0.677 2

0.680 8

0.684 4

0.687 9

0.5

0.691 5

0.695 0

0.698 5

0.701 9

0.705 4

0.708 8

0.712 3

0.715 7

0.719 0

0.722 4

0.6

0.725 7

0.729 1

0.732 4

0.735 7

0.738 9

0.742 2

0.745 4

0.748 6

0.751 7

0.754 9

0.7

0.758 0

0.761 1

0.764 2

0.767 3

0.770 3

0.773 4

0.776 4

0.779 4

0.782 3

0.785 2

0.8

0.788 1

0.791 0

0.793 9

0.796 7

0.799 5

0.802 3

0.805 1

0.807 8

0.810 6

0.813 3

0.9

0.815 9

0.818 6

0.821 2

0.823 8

0.826 4

0.828 9

0.835 5

0.834 0

0.836 5

0.838 9

1

0.841 3

0.843 8

0.846 1

0.848 5

0.850 8

0.853 1

0.855 4

0.857 7

0.859 9

0.862 1

1.1

0.864 3

0.866 5

0.868 6

0.870 8

0.872 9

0.874 9

0.877 0

0.879 0

0.881 0

0.883 0

1.2

0.884 9

0.886 9

0.888 8

0.890 7

0.892 5

0.894 4

0.896 2

0.898 0

0.899 7

0.901 5

1.3

0.903 2

0.904 9

0.906 6

0.908 2

0.909 9

0.911 5

0.913 1

0.914 7

0.916 2

0.917 7

1.4

0.919 2

0.920 7

0.922 2

0.923 6

0.925 1

0.926 5

0.927 9

0.929 2

0.930 6

0.931 9

1.5

0.933 2

0.934 5

0.935 7

0.937 0

0.938 2

0.939 4

0.940 6

0.941 8

0.943 0

0.944 1

1.6

0.945 2

0.946 3

0.947 4

0.948 4

0.949 5

0.950 5

0.951 5

0.952 5

0.953 5

0.953 5

1.7

0.955 4

0.956 4

0.957 3

0.958 2

0.959 1

0.959 9

0.960 8

0.961 6

0.962 5

0.963 3

1.8

0.964 1

0.964 8

0.965 6

0.966 4

0.967 2

0.967 8

0.968 6

0.969 3

0.970 0

0.970 6

1.9

0.971 3

0.971 9

0.972 6

0.973 2

0.973 8

0.974 4

0.975 0

0.975 6

0.976 2

0.976 7

2

0.977 2

0.977 8

0.978 3

0.978 8

0.979 3

0.979 8

0.980 3

0.980 8

0.981 2

0.981 7

2.1

0.982 1

0.982 6

0.983 0

0.983 4

0.983 8

0.984 2

0.984 6

0.985 0

0.985 4

0.985 7

2.2

0.986 1

0.986 4

0.986 8

0.987 1

0.987 4

0.987 8

0.988 1

0.988 4

0.988 7

0.989 0

2.3

0.989 3

0.989 6

0.989 8

0.990 1

0.990 4

0.990 6

0.990 9

0.991 1

0.991 3

0.991 6

2.4

0.991 8

0.992 0

0.992 2

0.992 5

0.992 7

0.992 9

0.993 1

0.993 2

0.993 4

0.993 6

2.5

0.993 8

0.994 0

0.994 1

0.994 3

0.994 5

0.994 6

0.994 8

0.994 9

0.995 1

0.995 2

2.6

0.995 3

0.995 5

0.995 6

0.995 7

0.995 9

0.996 0

0.996 1

0.996 2

0.996 3

0.996 4

2.7

0.996 5

0.996 6

0.996 7

0.996 8

0.996 9

0.997 0

0.997 1

0.997 2

0.997 3

0.997 4

2.8

0.997 4

0.997 5

0.997 6

0.997 7

0.997 7

0.997 8

0.997 9

0.997 9

0.998 0

0.998 1

2.9

0.998 1

0.998 2

0.998 2

0.998 3

0.998 4

0.998 4

0.998 5

0.998 5

0.998 6

0.998 6

x

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

3

0.998 7

0.999 0

0.999 3

0.999 5

0.999 7

0.999 8

0.999 8

0.999 9

0.999 9

1.000 0

 

(附)正态分布概率表

C++与正态分布


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