什么是命题？

1、能够区分真假，有效或者无效的陈述句

2、一个命题必须不是true就是false，不能兼备true or false

3、没有联结词的命题叫原子命题

examples:

北京是中国的首都（T）

1 + 1 = 2（T）

日本的首都是大阪（F）

x = b（不是命题）

请听我说话（不是命题，祈使句不是）

今天几号了？（不是命题，疑问句不是）

什么是复合命题？

通过逻辑连接运算符，把一些已经存在的原子命题（不能被分解为更简单的陈述句的命题）联合起来组成的新命题

否定（也就是非）：

P是一个命题，那么P的反面（对立面）也是一个命题，叫做P的否命题，

合取conjunction（也就是and，且，交）：命题pq组成的命题，使用 and 连接，叫p合取q，全真则真，一假则假。

析取disjunction（也就是or，或，并）：命题pq组成的命题，使用or连接，叫p析取q，一真则真，全假则假

注意一点：析取联结词ν和自然语言的或并不是100%对应的！自然语言的或可以同时发生（可兼或），也可以不同时发生（排斥或），而析取可以同时发生（可兼或）

今天上午8点我去上历史课或者去上数学课。这是排斥或，不能同时发生的事情。

我可能中午吃米饭或者面。这是可兼或，可以同时发生。析取只能表示可兼或，故表达的时候一定注意！

异或exclusive or：

命题pq组成的命题，p异或q，两者命题结论相同为假，相异为真，异或指的是排斥或！

条件连接conditional connectives：

假设（前提）-> 结论（结果），命题p、q组成的新命题，当且仅当p真q假，命题p->q是假，其余，结论都是真，前真后假则为假

类似自然语言里的如果……那么……，但是不全是，条件命题是善意的推定，如前件为F，不管后件如何，条件命题真值都是T。

逆命题：命题p->q（如果p，那么q or 若p则q，等）的逆命题是q->p

逆否命题：原命题为若p则q，逆否命题为若非q，则非p，原命题和它的逆否命题真假性等价

命题的否定：只是对这个命题的结论进行否认，命题的否定与原命题真假性相反

否命题：如果两个命题中一个命题的条件和结论，分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题互为否命题。逆命题与否命题等价，若逆命题为真，则否命题为真；反之，若逆命题为假，则否命题为假。

examples：

原命题implication：如果下雨，则球队赢。

逆否命题contrapositive of this implication：如果球队没赢，则不下雨。原命题和它的逆否命题真假性等价

逆命题converse of this implication：如果球队赢，则下雨

否命题inverse of this implication：如果没下雨，则球队没有赢，逆命题与否命题等价

条件连接词的常见英文描述：

if p,then q

if p, q

p is sufficient for q（俗称的p是q的充分条件）

q if p

q when p

p implies q

p only if q

a necessary condition for p is q（p是q的充分条件，q是p的必要条件）

a sufficient condition for q is p

q whenever p

q is necessary for p

q follows from p

双条件，当且仅当（不能看作数学里的等价符号）

命题pq组成新命题p<->q，则当p，q真假一致的时候，命题结论为真，否则都是假，和异或相反，异或是相异为真，双条件是相同为真

和条件命题类似，双条件也是可以不顾因果，只根据联结词定义真假，也可记作iff。

逻辑运算符的优先级

第一优先的是否（非），其次是合取，析取，条件，最后是双条件

命题公式的翻译

example：

如果你能在校园里上网，则你是计算机专业的，或者则你不是新生。

a：你能在校园里上网

c：你是计算机专业的

f：你是新生

a —›（c ν ¬f）

a,c,f都是命题变元，a —›（c ν ¬f）叫做命题公式，acf是命题公式的分量，命题公式没有真假！并不是所有的命题变元+逻辑联结词+括号+字符串组成的东东都是命题公式！遵循如下规则：

基础：单个命题变元是合式公式

归纳：若a是合式公式，那么not a也是合式公式。

　　　若a和b是合式公式，那么（aΛb），（aνb），（a->b），（a↔b）都是合式公式

界限：当且仅当有限次的应用基础，归纳，得到的东东才是合式公式。

The automated reply cannot be sent when the file system is full

p:the file system is full

q:the automated reply can be sent

p → ¬q

布尔逻辑检索(Boolean searches)

逻辑连接词被广泛地应用在了大量信息集合的搜索中，比如网页搜索，严格意义上的布尔逻辑检索是指利用布尔逻辑运算符连接各个检索词，然后由计算机进行相应逻辑运算，以找出所需信息的方法。它使用面最广、使用频率最高。布尔逻辑运算符的作用是把检索词连接起来，构成一个逻辑检索式。

逻辑困惑的推理

在一个村子有两类人，一类是绅士，他们总是说真话，绅士的对立类是无赖人士，无赖总是说假话，一天，你遇到了两个人A和B，判断A是什么人，B是什么人。

A说：B是绅士。

B说：我们两个不是一类人。

分析；A是绅士，则B必须是绅士，则B的话也是真的，那么A是无赖，这和B的话矛盾，排除。若A是无赖，则B必须是无赖，那么B的话是假的，暨AB是一类人，则B也是无赖，正确。

结论：AB都是无赖。

位和逻辑运算符

命题的恒等性

永真式，重言式，tautology： 一个命题公式总是真，且不论分量在什么指派情况下，命题的结论都是真的。

矛盾式，永假式，contradiction：一个命题公式结论总是假，不论对分量如何指派。

如果p↔q是永真的，那么p和q就是逻辑上恒等。使用符号p≡q表示

命题定律

命题和逻辑