Given n, how many structurally unique BST‘s (binary search trees) that store values 1...n?

For example,
Given n = 3, there are a total of 5 unique BST‘s.

   1         3     3      2      1    \       /     /      / \           3     2     1      1   3      2    /     /       \                    2     1         2                 3

   通过仔细分析题目的规律，我们发现可以尝试通过动态规划的方法去解决。假设f（n）表示不同的二叉搜索树的个数，假设二叉搜索树的根为k（1<=k<=n），左子树的个数为k-1个，右子树的个数为n-k，左右子树分别都是二叉搜索树，因此依照定义，左子树的不同个数为f（k-1），右子树的个数为f（n-k），则根为k时的不同的二叉搜索树的个数为f（k-1）f（n-k），考虑到k的取值氛围，则所有的二叉搜索树的个数为f（n）=∑f（k-1）f（n-k）（k=1，2，...，n）。
   得到递归的公式之后，我们可以很容易的写出程序：
　　Java:

public class Solution {    public int numTrees(int n){        int f[] = new int[n+1];        f[0] = 1;        for (int i = 1; i < f.length; i++)        {            for (int j = 1; j <= i; j++)            {                f[i] += f[j-1]*f[i-j];            }        }        return f[n];    }}

   上面的程序是可以ac的，但是时间复杂度是O(n²)，空间复杂度是O(n)。下面我们再介绍一种时间效率更高的方法，时间复杂度为O(n)。这里要引入一个叫Catalan（卡塔兰）数的概念，如果C(0)=1，C(1)=1，C(2)=2，...，C(n) = C(0)*C(n-1)+C(1)*C(n-2)+C(2)*C(n-2)+...+C(n-1)*C(0)=C(2n,n)/(n+1)  (n=0,1,2,3....)

   另类地推公式

                C(n) = C(n-1)*(4n-2)/(n+1)  (n=0,1,2,3....) 

   或者     C(n) = C(2n,n)-C(2n,n-1)  (n=0,1,2,3...)

   通过测试上面我们的几个例子发现，我们的所要求的二叉搜索树的个数就是卡塔兰数。

   Java:

public class Solution{    public int numTrees(int n){        int answer  = 1;        for (int i = 1; i <= n; i++)        {            answer = (answer*(4*i-2))/(i+1);        }        return answer;    }}

Unique Binary Search Tree | LeetCode