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(转载)LCA问题的Tarjan算法
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LCA问题(Lowest Common Ancestors,最近公共祖先问题),是指给定一棵有根树T,给出若干个查询LCA(u, v)(通常查询数量较大),每次求树T中两个顶点u和v的最近公共祖先,即找一个节点,同时是u和v的祖先,并且深度尽可能大(尽可能远离树根)。
LCA问题有很多解法:线段树、Tarjan算法、跳表、RMQ与LCA互相转化等。本文主要讲解Tarjan算法的原理及详细实现。
一 LCA问题
LCA问题的一般形式:给定一棵有根树,给出若干个查询,每个查询要求指定节点u和v的最近公共祖先。
LCA问题有两类解决思路:
- 在线算法,每次读入一个查询,处理这个查询,给出答案。
- 离线算法,一次性读入所有查询,统一进行处理,给出所有答案。
一个LCA的例子如下。比如节点1和6的LCA为0。
二 算法思路
Tarjan算法是离线算法,基于后序DFS(深度优先搜索)和并查集。如果不熟悉并查集,可以查看并查集及其在最小生成树中的应用。
算法从根节点root开始搜索,每次递归搜索所有的子树,然后处理跟当前根节点相关的所有查询。
算法用集合表示一类节点,这些节点跟集合外的点的LCA都一样,并把这个LCA设为这个集合的祖先。当搜索到节点x时,创建一个由x本身组成的集合,这个集合的祖先为x自己。然后递归搜索x的所有儿子节点。当一个子节点搜索完毕时,把子节点的集合与x节点的集合合并,并把合并后的集合的祖先设为x。因为这棵子树内的查询已经处理完,x的其他子树节点跟这棵子树节点的LCA都是一样的,都为当前根节点x。所有子树处理完毕之后,处理当前根节点x相关的查询。遍历x的所有查询,如果查询的另一个节点v已经访问过了,那么x和v的LCA即为v所在集合的祖先。
其中关于集合的操作都是使用并查集高效完成。
算法的复杂度为,O(n)搜索所有节点,搜索每个节点时会遍历这个节点相关的所有查询。如果总的查询个数为m,则总的复杂度为O(n+m)。
比如上面的例子中,前面处理的节点的顺序为4->7->5->1->0->…。
当访问完4之后,集合{4}跟集合{1}合并,得到{1,4},并且集合祖先为1。然后访问7。如果(7,4)是一个查询,由于4已访问过,于是LCA(7,4)为4所在集合{1,4}的祖先,即1。7访问完之后,把{7}跟{5}合并,得到{5,7},祖先为5。然后访问5。如果(5,7)是一个查询,由于7已访问过,于是LCA(5,7)为7所在集合{5,7}的祖先,即5。如果(5,4)也是一个查询,由于4已访问过,则LCA(5,4)为4所在集合{1,4}的祖先,即1。5访问完毕之后,把{5,7}跟{1,4}合并,得到{1,4,5,7},并且祖先为1。然后访问1。如果有(1,4)查询,则LCA(1,4)为4所在集合{1,4}的祖先,为1。1访问完之后,把{1,4,5,7}跟{0}合并,得到{0,1,4,5,7},祖先为0。然后剩下的2后面的节点处理类似。
三 算法实现
接下来提供一个完整算法实现。
使用邻接表方法存储一棵有根树。并通过记录节点入度的方法找出有根树的根,方便后续处理。
const int mx = 10000; //最大顶点数 int n, root; //实际顶点个数,树根节点 int indeg[mx]; //顶点入度,用来判断树根 vector<int> tree[mx]; //树的邻接表(不一定是二叉树) void inputTree() //输入树 { scanf("%d", &n); //树的顶点数 for (int i = 0; i < n; i++) //初始化树,顶点编号从0开始 tree[i].clear(), indeg[i] = 0; for (int i = 1; i < n; i++) //输入n-1条树边 { int x, y; scanf("%d%d", &x, &y); //x->y有一条边 tree[x].push_back(y); indeg[y]++;//加入邻接表,y入度加一 } for (int i = 0; i < n; i++) //寻找树根,入度为0的顶点 if (indeg[i] == 0) { root = i; break; } }
使用vector数组query存储所有的查询。跟x相关的所有查询(x,y)都会放在query[x]的数组中,方便查找。
vector<int> query[mx]; //所有查询的内容 void inputQuires() //输入查询 { for (int i = 0; i < n; i++) //清空上次查询 query[i].clear(); int m; scanf("%d", &m); //查询个数 while (m--) { int u, v; scanf("%d%d", &u, &v); //查询u和v的LCA query[u].push_back(v); query[v].push_back(u); } }
然后是并查集的相关数据和操作。
int father[mx], rnk[mx]; //节点的父亲、秩 void makeSet() //初始化并查集 { for (int i = 0; i < n; i++) father[i] = i, rnk[i] = 0; } int findSet(int x) //查找 { if (x != father[x]) father[x] = findSet(father[x]); return father[x]; } void unionSet(int x, int y) //合并 { x = findSet(x), y = findSet(y); if (x == y) return; if (rnk[x] > rnk[y]) father[y] = x; else father[x] = y, rnk[y] += rnk[x] == rnk[y]; }
再就是Tarjan算法的核心代码。
在调用Tarjan之前已经初始化并查集给每个节点创建了一个集合,并且把集合的祖先赋值为自己了,因而这里不用给根节点x单独创建。
int ancestor[mx]; //已访问节点集合的祖先 bool vs[mx]; //访问标志 void Tarjan(int x) //Tarjan算法求解LCA { for (int i = 0; i < tree[x].size(); i++) { Tarjan(tree[x][i]); //访问子树 unionSet(x, tree[x][i]); //将子树节点与根节点x的集合合并 ancestor[findSet(x)] = x;//合并后的集合的祖先为x } vs[x] = 1; //标记为已访问 for (int i = 0; i < query[x].size(); i++) //与根节点x有关的查询 if (vs[query[x][i]]) //如果查询的另一个节点已访问,则输出结果 printf("%d和%d的最近公共祖先为:%d\n", x, query[x][i], ancestor[findSet(query[x][i])]); }
下面是主程序,再加一个样例输入输出作为测试。
int main() { inputTree(); //输入树 inputQuires();//输入查询 makeSet(); for (int i = 0; i < n; i++) ancestor[i] = i; memset(vs, 0, sizeof(vs)); //初始化为未访问 Tarjan(root); /*前面例子相关的一个输入输出如下: 8 0 1 0 2 0 3 1 4 1 5 5 7 3 6 7 1 4 4 5 4 7 5 7 0 5 4 3 1 6 7和4的最近公共祖先为:1 5和4的最近公共祖先为:1 5和7的最近公共祖先为:5 1和4的最近公共祖先为:1 6和1的最近公共祖先为:0 3和4的最近公共祖先为:0 0和5的最近公共祖先为:0 */ }
(转载)LCA问题的Tarjan算法