相似度计算是数据挖掘，推荐引擎中的最基本问题，例如在推荐系统(Recommender Systems，简称RSs)中计算带推荐物品(Item)相似度，或是用户(User)之间的相似度以期获得兴趣口味(Taste)相似的用户时，均需要使用到相似度计算技术。经常使用的相似度计算方式较多，且各有特点， 以下就列出常用的相似度计算方式，原理，以及其优缺点。

相似度计算和距离计算是类似问题，之前粗略看了下Mahout(apache分布式数据挖掘项目)中的实现对各计算方式进行分析。结合在实际项目中的应用，介绍几类常用的距离计算公式。

Cosine

最常使用的相似度计算方法，而且总体效果较好，可以说是简单实用。数学描述如下：

其中 是X的模。

例如，在推荐引擎中，使用 r_ui表示User u对Item i的打分，则可以使用u对各Item打的分数的向量作为User u的兴趣爱好，则User u和User v之间的cosine相似度计算方式为：

其中 I_ui 表示User u,v均投票了的item。

Cosine的几何意义为向量空间中，将待计算相似度的向量均归一化为长度为1的向量， 所有被归一化后的向量  ov的v点坐标均落在以向量0为球心，半径为1的球面上，使用二向量的夹角度量二者相似度，夹角越小，相似程度越高。

在文本处理过程中，cosine度量方式表现效果都会比较好。

Mahout中参见CosineDistanceMeasure.java

Pearson Correlation

用于度量线性关系最常用的方法， 定义 为协方差，σ为标准差， 则Pearson相关系数为：

例如，使用 表示User u对Item的打分，则User u，v之间的相似度计算方式为：

其中 表示User u,v均投票了的item，与COS的区别是考虑了投票的均值， 且分母考虑的是User u,v共同投票的Item。

很多时候，针对User的PC要比针对Item的PC效果较好，因为针对User的PC相当于对各个用户的投票Scales做了一个中心化，避免各用户对相同Item投票时，因为投票习惯不一样而导致的差异。例如：投票分值分[1，5]档，有些人投4表示非常喜欢， 而有些人会投5表述相同的喜好程度。

PC的缺点如下：

1. 如任意User仅投票了一个元素， 则无法使用该公式计算。
2. 如任意User的每个投票分值均一样， 则无法使用该公式计算。
3. 计算时没有考虑投票的总数量， 例如User u投票了200 Items，而v仅投票了2Items，则最后有可能还是v与待比较User近似。

另外PC也经常用作序列趋势的相近程度度量。在检索，推荐系统中经常需要考虑检索结果及推荐商品的季节因素，例如根据往年某一商品的季节特征，预测类似产品的接下来的流行程度。 下图分别为检索词‘吴莫愁’，‘梁博’，‘滑雪’在过去3个月的搜索PV，使用PC度量，很容易得到检索词‘吴莫愁’与‘梁博’的相似度远远大于‘梁博’与‘滑雪’的相似度。

Mahout中参见PearsonCorrleationSimilarity.java

Spearman Rank Correlation(SRC)

Spearman Rank Correlation和Pearson Correlation非常类似， 只是SRC没有考虑对User对某具体Item的投票，而是考虑Item 在User所有投票中的相对Ranking。其数学表示为：

其中 k_ui表示User u对Item的投票值在User u所有投票中的Ranking。

SRC的优点是能够避免每个用户因投票习惯不一致带来的误差， 缺点是计算开销较大（每次计算都需要进行排序）

Mahout中参见SpearmanCorreleationSimilarity.java。计算复杂度较高。

Simple Matching Coefficient

imple Matching Coefficient

仅考虑数据为二值的情况（0,1）。 如果数据非二值， 则将数据转化为为二值。定义M01为u中属性为0，但v中属性为1的数量，M00表示u，v中属性均为0的数量，M10，M11同理。则SMC定义如下：

例如u=[1,1,0,0]，v=[0,1,1,0]，则SMC=2/4=0.5

Jaccard Coefficient

与SMC计算方式类似，但具体运算公式如下：

即仅考虑两个向量中，同一维度上值均为1的数量。该相似度度量公式在文本匹配中也较为常用， 比如在计算两个短字串的相似度时，首先将字符串切词，找到更细粒度的切词结果term，之后以不同的term作为不同维度的属性，使用JC计算相似度。

Extented Jaccard(Tanimoto)

距离度量方式

该度量方式是最直观的度量方式，一般使用曼哈顿，欧几里得距离度量，而更为广义的是闵科夫斯基度量方式。以Euclidean Distance为例：

可简单转化为相似度则表示为：