前言

　　本文较为详细地介绍了一种经典的光流法 - HS 光流法。

光流法简介

　　当人的眼睛与被观察物体发生相对运动时，物体的影像在视网膜平面上形成一系列连续变化的图像，这一系列变化的图像信息不断 "流过" 视网膜,好像是一种光的  "流"，所以被称为光流。

　　光流是基于像素点定义的，所有光流的集合称为光流场。通过对光流场进行分析，可以得到物体相对观察者的运动场。在这过程中分析的算法称为光流法。

HS 光流法的推导

　　HS光流计算基于物体移动的光学特性的两个假设：

　　　　1. 运动物体的灰度在很短的间隔时间内保持不变

　　　　2. 给定邻域内的速度向量场变化是缓慢的

　　由 1 可得：

　　　　(1)

　　上式右边在 x y 处泰勒展开，得：

　　　　(2)

　　ε 是包含有 δx，δy 和 δt 的二阶和更高阶项。两边减去 I(x,y,t)，再除以δt有：

　　　　(3)

　　O (δt) 是含δt的一个小量。在极限中当δt->0时，上式变成：

　　　　(4)

　　令 u = dx/dt　　v = dy / dt，得：

　　　　(5)

　　这条式子就是光流约束方程，它反映了灰度与速度的一个对应关系。

　　但，一个式子中有两个变量：u 和 v，显然不能将速度解出，因此需要引入一个新的条件：光流的全局平滑约束条件。

　　即 u 和 v 随着像素点移动而发生的改变是缓慢的，局部区域的变化不大，尤其是在目标做无变形刚体运动时，局部区域速度的空间变化率为0。

　　因此，引入以下速度平滑项：

　　　　(6)

　　对于所有的像素点，需要满足上式和最小。

　　综合光流约束条件 (5) 和速度平滑约束条件 (6)，可建立以下的极小化方程：

　　　　(7)

　　式中的 α 是平滑权重系数，表示速度光滑项所占的权重。

　　即使：

　　　　（8)

　　采用变分计算，根据欧拉方程，

　　　　(9)

　　　　(10)

　　得到：

　　　　(11)

　　　　(12)

　　式中，拉普拉斯算子可以用某一点的速度与其周围速度平均值之差来近似，有：

　　(13)

　　(14)

　　化简 (13) 和 (14)，可得：　　( 这一步运算量比较大 )

　　　　(15)

　　　　(16)

　　这样便可以考虑使用迭代法进行求解了，但在此之前，还需要明确其中几个量的求法。

　　对于 u 和 v 的均值，采用九点差分格式进行计算：

　　　　(17)

　　　　(18)

　　而对于其中的灰度梯度，可以采用以下方法近似计算：

　　　　(19)

　　　　(20)

　　　　(21)

　　至此，所有的量都已明确下来，输入前后两帧灰度进行迭代运算便可以输出得到速度场了，下面是具体的执行过程。

HS光流法执行流程图

　　1. 读取雷达拼图数据并初始化

　　2. 计算求解点的灰度梯度

　　3. 设定速度平滑权重系数( 一般设为1 )，初始速度( 一般设为0 )，迭代误差等。

　　4. 计算 k-1 次速度平均值

　　5. 计算 k 次迭代的速度值

　　6. 计算两次迭代光流值的误差，如果小于给定误差阈值，或者者迭代次数超过迭代次数，则计算过程结束，否则进行k+1次迭代。