在有限维的情况，每个仿射变换可以由一个矩阵A和一个向量b给出，它可以写作A和一个附加的列b。一个仿射变换对应于一个矩阵和一个向量的乘法，而仿射变换的复合对应于普通的矩阵乘法，只要加入一个额外的行到矩阵的底下，这一行全部是0除了最右边是一个1，而列向量的底下要加上一个1。

AffineTransform类描述了一种二维仿射变换的功能，它是一种二维坐标到二维坐标之间的线性变换，保持二维图形的“平直性”（译注： straightness，即变换后直线还是直线不会打弯，圆弧还是圆弧）和“平行性”（译注：parallelness，其实是指保二维图形间的相对位置关系不变，平行线还是平行线，而直线上点的位置顺序不变，另特别注意向量间夹角可能会发生变化。）仿射变换可以通过一系列的原子变换的复合来实现，包括：平移（Translation）、缩放（Scale）、翻转（Flip）、旋转（Rotation）和错切（Shear）。

此类变换可以用一个3×3的矩阵来表示，其最后一行为(0, 0, 1)。该变换矩阵将原坐标(x, y)变换为新坐标(x‘, y‘)，这里原坐标和新坐标皆视为最末一行为(1)的三维列向量，原列向量左乘变换矩阵得到新的列向量：

几种典型的仿射变换：

public static AffineTransform getTranslateInstance(double tx, double ty)

平移变换，将每一点移动到(x+tx, y+ty)，变换矩阵为：

[ 1 0 tx ]

[ 0 1 ty ]

[ 0 0 1 ]

（译注：平移变换是一种“刚体变换”，rigid-body transformation，中学学过的物理，都知道啥叫“刚体”吧，就是不会产生形变的理想物体，平移当然不会改变二维图形的形状。同理，下面的“旋转变换”也是刚体变换，而“缩放”、“错切”都是会改变图形形状的。）

public static AffineTransform getScaleInstance(double sx, double sy)

缩放变换，将每一点的横坐标放大（缩小）至sx倍，纵坐标放大（缩小）至sy倍，变换矩阵为：

[ sx 0 0 ]

[ 0 sy 0 ]

[ 0 0 1 ]

当sx=sy时，称为尺度缩放，sx不等于sy时，这就是我们平时所说的拉伸变换。

public static AffineTransform getShearInstance(double shx, double shy)

剪切变换，变换矩阵为：

[ 1 shx 0 ]

[ shy 1 0 ]

[ 0 0 1 ]

相当于一个横向剪切与一个纵向剪切的复合

[ 1 0 0 ][ 1 shx 0 ]

[ shy 1 0 ][ 0 1 0 ]

[ 0 0 1 ][ 0 0 1 ]

（译注：“剪切变换”又称“错切变换”，指的是类似于四边形不稳定性那种性质，街边小商店那种铁拉门都见过吧？想象一下上面铁条构成的菱形拉动的过程，那就是“错切”的过程。）

public static AffineTransform getRotateInstance(double theta)

旋转变换1，目标图形围绕原点逆时针旋转theta弧度，变换矩阵为：

[ cos(theta) -sin(theta) 0 ]

[ sin(theta) cos(theta) 0 ]

[ 0 0 1 ]

public static AffineTransform getRotateInstance(double theta, double x, double y)

旋转变换2，目标图形以(x, y)为轴心逆时针旋转theta弧度，变换矩阵为：

[ cos(theta) -sin(theta) x-x*cos+y*sin]

[ sin(theta) cos(theta) y-x*sin-y*cos ]

[ 0 0 1 ]

相当于两次平移变换与一次原点旋转变换的复合：

[1 0 x][cos(theta) -sin(theta) 0][1 0- x]

[0 1 y][sin(theta) cos(theta) 0][0 1 -y]

[0 0 1 ][ 0 0 1 ][0 0 1]

这里是以空间任一点为圆心旋转的情况。

 

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