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ACdream 1093 女神的正多面体 矩阵快速幂
题目大意:给你三种正多边形,给你起点s,终点e以及最多行走的步数k,问有多少种路径方案(路径中只要有一个顶点不同即视为不同)。
题目分析:
可以通过矩阵快速幂求解。
为每个正多边形(最多三个)构建一个邻接矩阵A,然后第K步的方案数即为A^k。
结果即为A^1 + A^2 + A^3 + ...... + A^k.
对于这种形式的矩阵运算,我们可以把它拆分成:
k为奇:ans = (A^1 + A^2 + ... + A^(k/2)) + (A^1 + A^2 + ... + A^(k/2)) * A^(k.2) + A^k;
k为偶:ans = (A^1 + A^2 + ... + A^(k/2)) + (A^1 + A^2 + ... + A^(k/2)) * A^(k.2);
合并一下就是:
ans = (A^1 + A^2 + ... + A^(k/2)) * (A(k/2) + 1);
if(k & 1) ans = ans + A^k;
结果即为mat[s - 1][e - 1](保存的时候下标均以减一)。
PS:本蒟蒻的代码效率貌似一直不高的样子QUQ。。。路过的众神们见谅QUQ。。。
代码如下:
#include <stdio.h> #include <string.h> #define REP(i, n) for(int i = 0; i < n; ++i) typedef long long ll; const int mod = 1000000007; const int O = 8; int N, K; typedef struct M{ ll mat[O][O]; M operator * (const M &t) const{//重载矩阵乘法 M tmp; memset(tmp.mat, 0, sizeof(tmp.mat)); REP(i, N) REP(j, N) REP(k, N) tmp.mat[i][j] = (tmp.mat[i][j] + mat[i][k] * t.mat[k][j]) % mod; return tmp; } //不使用函数的原因是为了让快速幂看起来更加自然 M operator + (const M &t) const{//重载矩阵加法 M tmp; REP(i, N) REP(j, N) tmp.mat[i][j] = (mat[i][j] + t.mat[i][j]) % mod; return tmp; } }M; M A[3] = { {{//正四边形 {0, 1, 1, 1}, {1, 0, 1, 1}, {1, 1, 0, 1}, {1, 1, 1, 0}, }}, {{//正六边形 {0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0}, {1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0}, {0, 1, 0, 1, 0 ,0, 1, 0}, {1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1}, {1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1}, {0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0}, {0, 0, 1, 0, 0 ,1, 0, 1}, {0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0}, }}, {{//正八边形 {0, 1, 1, 1, 1, 0}, {1, 0, 1, 0, 1, 1}, {1, 1, 0, 1, 0, 1}, {1, 0, 1, 0, 1, 1}, {1, 1, 0, 1, 0, 1}, {0, 1, 1, 1, 1, 0}, }}, }, E; M pow(ll k){//矩阵快速幂求A^k. M res = E, tmp = A[K]; for(; k; k >>= 1){ if(k & 1) res = res * tmp; tmp = tmp * tmp; } return res; } M _pow(ll k){//递归快速幂求A^1 + A^2 + A^3 + ...... + A^k. if(k == 1) return A[K]; M res = _pow(k >> 1) * (E + pow(k >> 1)); if(k & 1) res = res + pow(k); return res; } void work(){ int t, n, s, e; ll k; REP(i, O) REP(j, O) E.mat[i][j] = (i == j);//初始化单位矩阵 scanf("%d", &t); while(t--){ scanf("%d%lld%d%d", &n, &k, &s, &e); N = (n == 4 ? 4 : (n == 6 ? 8 : 6));//选择矩阵需要的范围 K = (n == 4 ? 0 : (n == 6 ? 1 : 2));//选择正多边形的类型 printf("%lld\n", _pow(k).mat[s - 1][e - 1]); } } int main(){ work(); return 0; }
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