这里讨论利用输入图像中像素的小邻域来产生输出图像的方法，在信号处理中这种方法称为滤波（filtering）。其中，最常用的是线性滤波：输出像素是输入邻域像素的加权和。

1.相关算子（Correlation Operator)

       定义：,  即 ，其中ｈ称为相关核(Kernel).

　　步骤：

        1）滑动核，使其中心位于输入图像g的（i，j）像素上

        2）利用上式求和，得到输出图像的（i，j）像素值

        3）充分上面操纵，直到求出输出图像的所有像素值

　　例：

A = [17  24   1   8  15            h = [8   1   6
     23   5   7  14  16                     3   5   7
      4   6  13  20  22                     4   9   2]
     10  12  19  21   3           
     11  18  25   2   9]

计算输出图像的（2，4）元素=

Matlab 函数：imfilter(A,h)

2.卷积算子（Convolution)

定义： ， ，其中

　　 步骤：

        1）将核围绕中心旋转180度

        2）滑动核，使其中心位于输入图像g的（i，j）像素上

        3）利用上式求和，得到输出图像的（i，j）像素值

        4）充分上面操纵，直到求出输出图像的所有像素值

       例：计算输出图像的（2，4）元素=

Matlab 函数：Matlab 函数：imfilter(A,h,‘conv‘)% imfilter默认是相关算子，因此当进行卷积计算时需要传入参数‘conv‘

3.边缘效应

当对图像边缘的进行滤波时，核的一部分会位于图像边缘外面。

常用的策略包括：

1）使用常数填充：imfilter默认用0填充，这会造成处理后的图像边缘是黑色的。

2）复制边缘像素：I3 = imfilter(I,h,‘replicate‘);

   

4.常用滤波

fspecial函数可以生成几种定义好的滤波器的相关算子的核。

例：unsharp masking 滤波

?

1 2 3 4 5

I = imread(‘moon.tif‘); h = fspecial(‘unsharp‘); I2 = imfilter(I,h); imshow(I), title(‘Original Image‘) figure, imshow(I2), title(‘Filtered Image‘)

更复杂些的滤波算子一般是先利用高斯滤波来平滑，然后计算其1阶和2阶微分。由于它们滤除高频和低频，因此称为带通滤波器（band-pass filters）。

在介绍具体的带通滤波器前，先介绍必备的图像微分知识。

1 一阶导数

连续函数，其微分可表达为 ，或                         （1.1）

对于离散情况（图像），其导数必须用差分方差来近似，有

                                   ，前向差分 forward differencing                  （1.2）

                                    ，中心差分 central differencing                     （1.3）

1）前向差分的Matlab实现

?

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27

function dimg = mipforwarddiff(img,direction) % MIPFORWARDDIFF     Finite difference calculations  % %   DIMG = MIPFORWARDDIFF(IMG,DIRECTION) % %  Calculates the forward-difference for a given direction %  IMG       : input image %  DIRECTION : ‘dx‘ or ‘dy‘ %  DIMG      : resultant image % %   See also MIPCENTRALDIFF MIPBACKWARDDIFF MIPSECONDDERIV %   MIPSECONDPARTIALDERIV    %   Omer Demirkaya, Musa Asyali, Prasana Shaoo, ... 9/1/06 %   Medical Image Processing Toolbox    imgPad = padarray(img,[1 1],‘symmetric‘,‘both‘);%将原图像的边界扩展 [row,col] = size(imgPad); dimg = zeros(row,col); switch (direction)    case ‘dx‘,    dimg(:,1:col-1) = imgPad(:,2:col)-imgPad(:,1:col-1);%x方向差分计算， case ‘dy‘,    dimg(1:row-1,:) = imgPad(2:row,:)-imgPad(1:row-1,:);  otherwise, disp(‘Direction is unknown‘); end; dimg = dimg(2:end-1,2:end-1);

2）中心差分的Matlab实现

?

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

function dimg = mipcentraldiff(img,direction) % MIPCENTRALDIFF     Finite difference calculations  % %   DIMG = MIPCENTRALDIFF(IMG,DIRECTION) % %  Calculates the central-difference for a given direction %  IMG       : input image %  DIRECTION : ‘dx‘ or ‘dy‘ %  DIMG      : resultant image % %   See also MIPFORWARDDIFF MIPBACKWARDDIFF MIPSECONDDERIV %   MIPSECONDPARTIALDERIV    %   Omer Demirkaya, Musa Asyali, Prasana Shaoo, ... 9/1/06 %   Medical Image Processing Toolbox    img = padarray(img,[1 1],‘symmetric‘,‘both‘); [row,col] = size(img); dimg = zeros(row,col); switch (direction)     case ‘dx‘,         dimg(:,2:col-1) = (img(:,3:col)-img(:,1:col-2))/2;     case ‘dy‘,         dimg(2:row-1,:) = (img(3:row,:)-img(1:row-2,:))/2;     otherwise,         disp(‘Direction is unknown‘); end dimg = dimg(2:end-1,2:end-1);

?

1

实例：技术图像x方向导数

?

1 2	I = imread(‘coins.png‘); figure; imshow(I); Id = mipforwarddiff(I,‘dx‘); figure, imshow(Id);

    原图像                                                   x方向1阶导数

2 图像梯度（Image Gradient）

图像I的梯度定义为  ，其幅值为 。出于计算性能考虑，幅值也可用 来近似。

Matlab函数

1）gradient：梯度计算

2）quiver：以箭头形状绘制梯度。注意放大下面最右侧图可看到箭头，由于这里计算横竖两个方向的梯度，因此箭头方向都是水平或垂直的。

实例：仍采用上面的原始图像

?

1 2 3 4 5

I = double(imread(‘coins.png‘)); [dx,dy]=gradient(I); magnitudeI=sqrt(dx.^2+dy.^2); figure;imagesc(magnitudeI);colormap(gray);%梯度幅值 hold on;quiver(dx,dy);%叠加梯度方向

                         梯度幅值                                   梯度幅值+梯度方向

3 二阶导数

对于一维函数，其二阶导数 ，即 。它的差分函数为

                                                   （3.1）

3.1 普拉斯算子（laplacian operator）

3.1.2 概念

拉普拉斯算子是n维欧式空间的一个二阶微分算子。它定义为两个梯度向量算子的内积

                                 （3.2）

其在二维空间上的公式为：                    （3.3)

对于1维离散情况，其二阶导数变为二阶差分

1）首先，其一阶差分为

2）因此，二阶差分为

          

3）因此，1维拉普拉斯运算可以通过1维卷积核 实现

 

对于2维离散情况（图像），拉普拉斯算子是2个维上二阶差分的和（见式3.3），其公式为：

   （3.4）

上式对应的卷积核为

常用的拉普拉斯核有：

3.1.2 应用

拉普拉斯算子会突出像素值快速变化的区域，因此常用于边缘检测。

Matlab里有两个函数

1）del2

计算公式： ，  

2）fspecial：图像处理中一般利用Matlab函数fspecial

h = fspecial(‘laplacian‘, alpha) returns a 3-by-3 filter approximating the shape of the two-dimensional Laplacian operator.
The parameter alpha controls the shape of the Laplacian and must be in the range 0.0 to 1.0. The default value for alpha is 0.2.

3.1.3 资源

http://fourier.eng.hmc.edu/e161/lectures/gradient/node8.html （非常清晰的Laplacian Operator介绍，本文的主要参考）

http://homepages.inf.ed.ac.uk/rbf/HIPR2/log.htm