信号处理中的一个重要运算是卷积.初学卷积的时候,往往是在连续的情形,

　　两个函数f(x),g(x)的卷积,是∫f(u)g(x-u)du

　　当然，证明卷积的一些性质并不困难，比如交换，结合等等，但是对于卷积运算的来处，初学者就不甚了了。

　　其实，从离散的情形看卷积，或许更加清楚，

　　对于两个序列f[n],g[n],一般可以将其卷积定义为s[x]= ∑f[k]g[x-k]

　　卷积的一个典型例子,其实就是初中就学过的多项式相乘的运算,

　　比如(x*x+3*x+2)(2*x+5)

　　一般计算顺序是这样,

　　(x*x+3*x+2)(2*x+5)

　　= (x*x+3*x+2)*2*x+(x*x+3*x+2)*5

　　= 2*x*x*x+3*2*x*x+2*2*x+ 5*x*x+3*5*x+10

　　然后合并同类项的系数,

　　2 x*x*x

　　3*2+1*5 x*x

　　2*2+3*5 x

　　2*5

　　----------

　　2*x*x*x+11*x*x+19*x+10

　　实际上,从线性代数可以知道,多项式构成一个向量空间,其基底可选为

　　{1,x,x*x,x*x*x,...}

　　如此,则任何多项式均可与无穷维空间中的一个坐标向量相对应,

　　如,(x*x+3*x+2)对应于

　　(1 3 2),

　　(2*x+5)对应于

　　(2,5).

　　线性空间中没有定义两个向量间的卷积运算,而只有加法,数乘两种运算,而实际上,多项式的乘法,就无法在线性空间中说明.可见线性空间的理论多么局限了.

　　但如果按照我们上面对向量卷积的定义来处理坐标向量,

　　(1 3 2)*(2 5)

　　则有

　　2 3 1

　　_ _ 2 5

　　--------

　　    2

　　2 3 1

　　_ 2 5

　　-----

　　  6+5=11

　　2 3 1

　　2 5

　　-----

　　4+15 =19

　　_ 2 3 1

　　2 5

　　-------

　　  10

　　 或者说,

　　(1 3 2)*(2 5)=(2 11 19 10)

　　回到多项式的表示上来,

　　(x*x+3*x+2)(2*x+5)= 2*x*x*x+11*x*x+19*x+10

　　似乎很神奇,结果跟我们用传统办法得到的是完全一样的.

　　换句话,多项式相乘,相当于系数向量的卷积.

　　其实,琢磨一下,道理也很简单,

　　卷积运算实际上是分别求 x*x*x ,x*x,x,1的系数，也就是说，他把加法和求和杂合在一起做了。(传统的办法是先做乘法，然后在合并同类项的时候才作加法)

　　以x*x的系数为例，得到x*x，或者是用x*x乘5，或者是用3x乘2x,也就是

　　2 3 1

　　_ 2 5

　　-----

　　 6+5=11

　　其实,这正是向量的内积.如此则,卷积运算,可以看作是一串内积运算.既然是一串内积运算，则我们可以试图用矩阵表示上述过程。

　　[ 2 3 1 0 0 0]

　　[ 0 2 3 1 0 0]==A

　　[ 0 0 2 3 1 0]

　　[ 0 0 0 2 3 1]

　　[0 0 2 5 0 0]‘ == x

　　b= Ax=[ 2 11 19 10]‘

　　采用行的观点看Ax,则b的每行都是一个内积。

　　A的每一行都是序列[2 3 1]的一个移动位置。

　　---------

　　显然,在这个特定的背景下,我们知道,卷积满足交换,结合等定律,因为,众所周知的,多项式的乘法满足交换律,结合律.在一般情形下,其实也成立.

　　在这里,我们发现多项式,除了构成特定的线性空间外,基与基之间还存在某种特殊的联系,正是这种联系,给予多项式空间以特殊的性质.

　　在学向量的时候，一般都会举这个例子，甲有三个苹果，5个橘子，乙有5个苹果，三个橘子，则共有几个苹果，橘子。老师反复告诫，橘子就是橘子，苹果就是苹果，可不能混在一起。所以有(3,5)+(5,3)=(8,8).是的，橘子和苹果无论怎么加，都不会出什么问题的，但是，如果考虑橘子乘橘子，或者橘子乘苹果，这问题就不大容易说清了。

　　又如复数,如果仅仅定义复数为数对（a,b),仅仅在线性空间的层面看待C2,那就未免太简单了。实际上，只要加上一条(a,b)*(c,d)=(ac-bd,ad+bc)

　　则情况马上改观，复变函数的内容多么丰富多彩，是众所周知的。

　　另外，回想信号处理里面的一条基本定理,频率域的乘积,相当于时域或空域信号的卷积.恰好跟这里的情形完全对等.这后面存在什么样的隐态联系,需要继续参详.

　　从这里看,高等的卷积运算其实不过是一种初等的运算的抽象而已.中学学过的数学里面，其实还蕴涵着许多高深的内容（比如交换代数）。温故而知新,斯言不谬.

　　其实这道理一点也不复杂，人类繁衍了多少万年了，但过去n多年，人们只知道男女媾精，乃能繁衍后代。精子，卵子的发现，生殖机制的研究，也就是最近多少年的事情。

　　孔子说，道在人伦日用中，看来我们应该多用审视的眼光看待周围，乃至自身，才能知其然，而知其所以然。 

(转)---再说卷积