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四、树中删除元素

1.先找到需要删除的元素。

2.

2.1如果被删元素没有子元素，那么直接用NIL节点代替他；

2.2如果被删元素只有一个子元素，那么直接用这个子元素代替他；

2.3如果被删元素有两个子元素，那么就用左子元素中的最大元素或者右子元素的最小元素代替他。

比如说原来要删除的元素是N，N有两个分支，其中P是N左分支中的最大元素，那么就把P的值赋给N，然后删除P，这时其实真正删除的是P元素了（而P元素不可能有两儿子，否则的话，就存在比P还要大的元素了，）然后就回到情况2.1或者2.2了。

e.g.:如图9所示，当删除结点20时，实际被删除的结点应该为18，结点20的数据变为18（颜色不变）。

3.由于删除了一个元素，所以红黑树的5条特性可能被破坏，这时就需要通过系列的旋转变色来恢复特性。

五、删除修复

先回顾一下红黑树的五条特性：

1.节点只有红色或黑色。

2.根节点是黑色。

3.每个叶子结点都带有两个空的黑色结点（被称为黑哨兵，即NIL节点），如果一个结点n的只有一个左孩子，那么n的右孩子是一个黑哨兵；如果结点n只有一个右孩子，那么n的左孩子是一个黑哨兵。

4.红节点的两儿子都是黑色的，即红节点不相邻。

5.树上任一节点，从该节点到其叶节点的所有路径上都包含相同的黑节点（包括NIL节点）。

OK，现在先回顾一下四.2.3中的那个例子，我们可以得到一下结论：

真正删除的点，必定是只有一个红儿子或者没有儿子（NIL节点不算儿子）的点，道理很简单，如果被删除的点有一个黑儿子，那么原树本来就是不平衡的（性质5）；如果被删除的点有两个儿子，那他就不是真正被删除的点（参见 四.2.3）。理解这点非常重要

现在分析删除的几种情况：

1.被删除的元素是红色的，那么删除它后，直接用它儿子或NIL节点代替就好，不会破坏任何特性。

2.如果被删除的元素是黑色的，那么删除后，必定会破坏特性5（少了一个黑色嘛）。这时，我们可以使用这样的思想：比如N是被删点，H是要接替N的点；N被删除后，把它自己的黑色强加给了H，同时H又不放弃自己原来的颜色，相当于H一个人拥有了两种元素，这时特性5是不是保持住了呢？

有了这个思想后，我们继续分析：

2.1：接替点颜色是 红+黑（前面那色是自己的，后面那色是父亲那继承的）。

处理方法：直接把接替点颜色变黑就好了（相当于把自己的红色变成父亲的黑色）。

2.2：接替点颜色是 黑+黑，并且删除点是原来的根节点。

处理方法：直接变空树，（这种情况其实原来整个树只有一个元素，就是它自己）。

2.3：接替点颜色是 黑+黑，（除了2.2以外的双黑情况）。

这时最为复杂，我们先看下面这张图（没有方便的画图软件，所以纯手绘了，大家见谅^_^）：

下图中蓝色的箭头所指的元素，表示真正要删除的元素；黑色的小方框，表示NIL节点；N表示被删元素，P表示被删元素的父亲，S表示被删元素的兄弟。

上面这张图，对应于2.1（被删点颜色是红+黑）这种情况

这三张图，完整诠释了原始黑+黑的全部情况（10种），但其实这10种情况，可以归纳为

A（一）、B（二、三）、C（四、五）、D（六七八九）、E（十）这五种情况。

下面详细解析(下面电脑图中的X、W和我手绘图中N、S含义是相同的，分部代表被删除的点和它的兄弟点)：

情况A：x的兄弟w是红色的（此时父节点P和S的子节点都是黑的，这时因为特性4）

处理方法：B点变红，D点变黑，然后以B点为轴左旋。相当于把右枝的红色移到了左支，但A的兄弟却从红色变成了黑色，使它符合情况B

情况B：X的兄弟W是黑色的，并且W的两儿子也是黑色的

处理方法：因为X和W都是黑色的，所以我们可以将他们的黑色上推（上推的含义参加我上一篇文章）一层，这时D变成了红色，但X因为有双重黑色，所以被推去一层后，还有一层。

这时候会有两种可能，情况我手绘图的二、三。如果是情况二，也就意味着被删点的父亲原来是黑色的，那么它现在变成了双重黑色，然后我们可以以它父亲为新的判定点（new x）来从新处理。

如果是情况三，就是被删点的父亲原来是红色的，那么它现在变成了单重黑色，那么就直接平衡了，OK，完工。

情况C：X的兄弟W是黑色的，W的左儿子是红色的，W的右儿子是黑色的。

处理方法：将W的颜色变成红，它左儿子C变成黑（互换），然后以W为支点进行右旋。使它符合情况D

情况D：X的兄弟W是黑色的，W的右儿子是红色的，W的左儿子颜色随意。

处理方法：将父亲C的颜色给兄弟W，父亲自己变成黑色，W的右儿子也变成黑色。然后以父亲为支点，进行左旋，OK，大功告成。

这个参看我手绘图六七八九更醒目，因为当X被删掉后，左边就少了一个黑节点，这样性质5就被破坏了，为了弥补，把父亲变黑，然后移到左边来。但这样一来，定点的颜色也可能变化，所以就先把父亲的颜色给兄弟W。这样左边和中间都满足了，只剩下右边少了一个黑（兄弟被当成顶点了嘛），正好右边有一个红色（原兄弟W的右儿子），那直接把它变黑，皆大欢喜。

情况E：被删点是根元素，并且整个树就它一个

处理方法：这种情况相当简单，直接变空树。

好了，关于被删点的接替点颜色是黑+黑（2.2，2.3）的处理，通过我手绘图的10种详细情况，归纳出5种普遍情况（其实是4种，情况E实在太简单），到此为止全部剖析完毕。再回顾一下：

红黑树删除的几种情况：

一、被删点是红色，那么直接删除，用后续点接替就好了

二、被删点是黑色的，那么把它删除，并把它的黑色继承给它的儿子。

这时根据他儿子的双重颜色，有可以分为：

2.1：它儿子是红+黑，那么直接变黑，over。

2.2：它儿子是黑+黑，又可分为5种：

2.2.A：x的兄弟w是红色的。

2.2.B：x的兄弟w是黑色的，且w的俩个孩子都是黑色的。

2.2.C：x的兄弟w是黑色的，w的左孩子是红色，w的右孩子是黑色。

2.2.D：x的兄弟w是黑色的，且w的右孩子时红色的。

2.2.E：被删点是根元素，并且整个树就它一个。

note：以上对节点的删除，都是考虑的被删节点是父节点的左节点的情况，如是右节点，思路相同，操作相反

结语：只要牢牢抓住红黑树的5个性质不放，无论是插入还是删除，左旋还是右旋，目的只有一个——都只为了保持和修复红黑树的5个性质而已。

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