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算法分析-堆排序 Heap Sort

 

堆排序的是集合了插入排序的单数组操作,又有归并排序的时间复杂度,完美的结合了2者的优点。

堆的定义

  n个元素的序列{k1,k2,…,kn}当且仅当满足下列关系之一时,称之为堆。

  情形1:k<= k2i 且k<= k2i+1 最小化堆小顶堆

  情形2:k>= k2i 且k>= k2i+1 (化堆大顶堆

  其中i=1,2,…,n/2向下取整;

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若将和此序列对应的一维数组(即以一维数组作此序列的存储结构)看成是一个完全二叉树,则堆的含义表明,完全二叉树中所有非终端结点的值均不大于(或不小于)其左、右孩子结点的值。

由此,若序列{k1,k2,…,kn}是堆,则堆顶元素(或完全二叉树的根)必为序列中n个元素的最小值(或最大值)。

  例如,下列两个序列为堆,对应的完全二叉树如图:

 

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  若在输出堆顶的最小值之后,使得剩余n-1个元素的序列重又建成一个堆,则得到n个元素的次小值。如此反复执行,便能得到一个有序序列,这个过程称之为堆排序

  堆排序(Heap Sort)只需要一个记录元素大小的辅助空间(供交换用),每个待排序的记录仅占有一个存储空间。

 

堆的存储

  一般用数组来表示堆,若根结点存在序号0处, i结点的父结点下标就为(i-1)/2。i结点的左右子结点下标分别为2*i+1和2*i+2。

  (注:如果根结点是从1开始,则左右孩子结点分别是2i和2i+1。)

  如第0个结点左右子结点下标分别为1和2。

  如最大化堆如下:

 

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  左图为其存储结构,右图为其逻辑结构。

堆排序的实现

  实现堆排序需要解决两个问题:

    1.如何由一个无序序列建成一个堆?

    2.如何在输出堆顶元素之后,调整剩余元素成为一个新的堆?

 

  先考虑第二个问题,一般在输出堆顶元素之后,视为将这个元素排除,然后用表中最后一个元素填补它的位置,自上向下进行调整:首先将堆顶元素和它的左右子树的根结点进行比较,把最小的元素交换到堆顶;然后顺着被破坏的路径一路调整下去,直至叶子结点,就得到新的堆。

  我们称这个自堆顶至叶子的调整过程为“筛选”。

  从无序序列建立堆的过程就是一个反复“筛选”的过程。

构造初始堆

  初始化堆的时候是对所有的非叶子结点进行筛选。

  最后一个非终端元素的下标是[n/2]向下取整,所以筛选只需要从第[n/2]向下取整个元素开始,从后往前进行调整。

  比如,给定一个数组,首先根据该数组元素构造一个完全二叉树。

  然后从最后一个非叶子结点开始,每次都是从父结点、左孩子、右孩子中进行比较交换,交换可能会引起孩子结点不满足堆的性质,所以每次交换之后需要重新对被交换的孩子结点进行调整。

进行堆排序

  有了初始堆之后就可以进行排序了。

  堆排序是一种选择排序。建立的初始堆为初始的无序区。

  排序开始,首先输出堆顶元素(因为它是最值),将堆顶元素和最后一个元素交换,这样,第n个位置(即最后一个位置)作为有序区,前n-1个位置仍是无序区,对无序区进行调整,得到堆之后,再交换堆顶和最后一个元素,这样有序区长度变为2。。。

  不断进行此操作,将剩下的元素重新调整为堆,然后输出堆顶元素到有序区。每次交换都导致无序区-1,有序区+1。不断重复此过程直到有序区长度增长为n-1,排序完成。

堆排序实例

   首先,建立初始的堆结构如图:

  

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  然后,交换堆顶的元素和最后一个元素,此时最后一个位置作为有序区(有序区显示为黄色),然后进行其他无序区的堆调整,重新得到大顶堆后,交换堆顶和倒数第二个元素的位置……

  

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  重复此过程:

  

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  最后,有序区扩展完成即排序完成:

  

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  由排序过程可见,若想得到升序,则建立大顶堆,若想得到降序,则建立小顶堆

代码

  假设排列的元素为整型,且元素的关键字为其本身。

  因为要进行升序排列,所以用大顶堆。

  根结点从0开始,所以i结点的左右孩子结点的下标为2i+1和2i+2。

 1 Array.prototype.buildMaxHeap=function(){ 2     for(var i=Math.floor(this.length/2)-1;i>=0;i--){ 3         this.heapAdjust(i,this.length); 4     } 5 }; 6  7 Array.prototype.swap=function(i,j){ 8     var tmp=this[i]; 9     this[i]=this[j];10     this[j]=tmp;11 };12 13 Array.prototype.heapSort=function(){14     this.buildMaxHeap();15     for(var i=this.length-1;i>0;i--){16         this.swap(0,i);17         this.heapAdjust(0,i);18     }19 20     return this;21 };22 23 Array.prototype.heapAdjust=function(i,j){24     var largest=i;25     var left=2*i+1;26     var right=2*i+2;27 28     if(left<j&&this[largest]<this[left]){29         largest=left;30     }31 32     if(right<j&&this[largest]<this[right]){33         largest=right;34     }35 36     if(largest!=i){37         this.swap(i,largest);38         this.heapAdjust(largest,j);39     }40 };41 42 var a=new Array();43 [].push.apply(a,[2,4,3,5]);44 console.log(a.heapSort());

如果对上诉描述还是不清楚,下面给出算法导论里的习题,方面大家一步步更深的理解:

习题一:当A[i]比其两子女都大的时候,调用MAX-HEAPIFY(A,i)的效果是怎么样?

这里的MAX-HEAPIFY对于上诉的heapAdjust,其实没变化的,我们可以看最后的if(largest!=i),才会递归下去,不然不变。这是算法导论里的伪代码:

 

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 习题二:对i>heap-size[A]/2,调用MAX-HEAPIFY(A,i)会怎么样?

分析:我们知道heap-size[A]后面都是排好序的,那heap-size[A]/2的位置便是最后一个非叶子节点,

i>heapsize[A]/2,结点为叶子结点没有孩子,所以不会有任何改变。

 

 

习题三:MAX-HEAPIFY效率虽然高,但是第十行,可能导致某些编译程序产生出低效的代码,请把递归改成迭代:

 1 Max-Heapify(A, i) 2     while true 3         l = Left(A, i) 4         r = Right(A, i) 5         if l <= A.heap-size and A[l] > A[i] 6             largest = l 7         else 8             largest = i 9         if r <= A.heap-size and A[r] > A[largest]10             largest = r11         if largest != i12             swap A[i] with A[largest]13             i = largest14         else15             break

整个堆排序的算法:

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到此为止,堆排序已经全部讲解完了,我们发现核心的函数就MAX-HEAPTITY,他的时间复杂度其实是和这个二叉树的高度成正比的,我们可以认为是O(lgn).步骤就是先建立一个堆,建完就把第一个元素【最大或者最小】放到最后,如此循环,只到全部排序完毕。

 

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