这里简要的讨论 hybrid network 与一些时序数据的分析。

hybrid network 指网络中存在离散随机变量与连续随机变量，这种情况下一般非常麻烦，这主要是因为连续型随机变量需要使用某个参数族来进行刻画，某些情况下对应的 margin 却不属于给定的参数族。常用的处理手段是离散化，即将某些连续分布离散化成为离散随机变量，这样虽然处理起来容易，但是会丢失非常多的信息，也引入了一个也非常困难的问题，如何离散化才有意义？很显然离散化只是为了计算效率进行近似的折衷。因此关于 hybrid network 的讨论其实主要集中在一些特殊情况。前面讲过的 Gaussian network 是一种分析性质良好的连续 r.v.s.，我们首先讨论一下前面一些技术在它上面的应用，继而讨论上面 hybrid network 的性质、近似与精确 inference 的策略。

我们首先引入所谓的 canonical form，这其实和 exponential family 的有一定相似

我们不难获得这些参数与矩参数 之间的关系，在这种表示下，相乘相除的 factor 就可以通过这些系数的相加相减进行计算了。这样 sum-product 进行 VE 的时候每一步其实都是 well-define 并且非常容易计算（传递的就是二次型的系数）。如果使用 belief update 的 parameterization，根据前面的说法其实仍然是二次型（该算法里面多出来一个相除，对应就是系数相减），也是一个容易计算的过程。在有环的情形下，可以证明 LBP 如果收敛，则能够收敛到正确的 mean，但是对方差的估计往往过于确定（方差偏小）。

在引入了离散随机变量后 Gaussian network 的表示往往都是随变量个数增加，参数指数的增加（表示就困难了），因此也很容易证明，此类问题下即便网络是 polytree，甚至离散的是二值的 r.v.s. 问题都将成为 NP-hard。一种直接的想法就是将 message 进行简化，我们知道某些 Gaussian 在 marginalize 掉离散变量后就成为了 mixture of Gaussians，这时我们需要进行近似避免该 message 过于复杂，这一般是使用单个的 Gaussian 进行 M-projection。这样做虽然是一种“可行”的策略，但是往往获得的 Gaussian 并非“正常的”（负方差）。这时有一类所谓 Lauritzen 算法，可以提供正确性和计算有效性上的折衷（看来这个 Lauritzen 算法总是要好好研究下的）。

如果 r.v.s. 之间的关系不再是 linear 情形（比如前面的 CLG），我们往往需要对这类后验关系进行近似，最常见的做法就是所谓的 Laplace approximation，即用一个 Gaussian 去逼近后验。更一般的想法是使用 Taylor 展开，进行更高阶的近似。Laplace approximation 可以认为是使用二阶在 M-projection 下进行的近似。对某些情况下的积分虽然是没有解析解，但是由于是 Gaussian 下积分，我们仍然可以用一些数值解法获得相对精确的解。另外一种思路自然是借助 sampling，这类 network 往往 forward sampling 容易进行，另外 MCMC 与 collapsed sampling 也容易应用到这类问题上，总算是提供了一种“万能”的笨办法。

在时序问题中，最常见的是下面三类 inference 问题：

• filtering/tracking，给定到现在为止的观测，当前最可能的状态是什么
• prediction，给定到现在为止的观测，下面最可能发生的状态是什么
• smoothing/decoding，给定观测求最可能的状态序列

前两者的计算其实是耦合在一起的，因为我们可以利用前者推出后者，

而后者到前者，我们只需要用一下 Bayesian 公式

smoothing 的计算一般也并不麻烦，我们只需要使用 dynamic programming 即可（这是标准的 MAP）。说穿了这都是常见的 inference 问题，如果我们不考虑时序结构直接应用前面的算法势必会比较麻烦。比较理想的情况就是根据这个时间关系进行求解。但要注意，很多情况下可能会出现 entanglement 导致这类做法变得复杂起来，也就是 state 之间还存在另外的路径，可以证明所谓的 fully persistent BN 是不可能单独 track 当前状态的分布的（entanglement theorem），由于存在 entanglement，我们只能用整个联合分布来表达。其实我们使用的不少模型都是避免了 entanglement，当 entanglement 存在的时候我们常见的策略就是使用近似：

• EP：尽管 entanglement 存在，但是影响的回路较长，我们是否可以用简化的 message 来处理呢？容易发现 prediction 那部分计算的概率正好是我们的 message，而 filtering 部分对应的是 belief。
• particle-based：针对时序数据，我们可以做 sequential importance sampling。

对连续变量来说，常见的就是 LDS 这种 model 了，其中的重要算法包括 Kalman filter、pariticle filtering。

我们后面将对一些常用的模型（如 HMM、LDS 和 chain CRF）进行相关的推导，这三者是不需要近似算法的。

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And Sarah said, God has made me to laugh, so that all that hear will laugh with me.