第二章 逻辑代数

第一个知识点 逻辑代数中的三种基本运算

常见的复合逻辑运算有与非 或非  与或非  异或  同或  

二  逻辑代数基本公式和常用公式

若干常用公式

逻辑代数的基本定理

1 代入定理

  将一个式子比如A = b+c 可在表达式中有遇到A的地方都可以用b+c替换

2 反演定理

 对于任意一个逻辑式y 如果将其中所有的"."换成"+","+"换成"."0换成1,1换成0，所有原变量换成反变量，反变量换成原变量，则得到的结果就是Y的反这个定理称为反演定理

在应用反演定理的时候需要注意

不属于单个变量上的反号应当保持不变

3 对偶定理

如果两个逻辑式相等则他们的对偶式也相等这就是对偶定理

对于任何一个逻辑式Y 如果将他的"."换成"+","+"换成".",0换成1,1换成0，则得到一个新的逻辑式这个逻辑式为原表达式的对偶式

证明两个式子相等也可以证明两个对偶式相等

 逻辑函数及表示方法

1 逻辑函数

输入变量和输出结果之间存在某种函数关系这种关系成为逻辑函数

Y = F（A,B,C）

逻辑函数的表示方法

1 真值表

将输入变量所有的取值下对应的输出值找出来，列成表，即可得到真值表 ，如下表

逻辑函数

  将输入和输出之间的逻辑关系，写成与或非等运算的组合式就得到逻辑函数式

逻辑图

  将各个变量之间的关系用逻辑符号表示出变量的关系

波形图

   将逻辑函数中每一个变量的取值，与之对应的输出变量按时间顺序排列起来，就得到该逻辑函数的波形图，这种波形图也称为时序图

各种表示方法的互换

真值表和逻辑函数的互换

总结上面的过程列出由真值表得到逻辑函数的方法如下

1 找出真值表中，使逻辑函数Y= 1那些输入变量取值的组合

2 每组输入变量的取值的组合对应一个乘积项，其中取值为0的写入反变量，取值为1的写入原变量

3 将这些乘积项相加

逻辑式列出真值表

将逻辑式中变量的所有取值状态和输出结果列成表格的形式称为真值表

逻辑函数和逻辑图的转换

将逻辑表达式转换为逻辑图时需要将连接逻辑变量的符号按照先后顺序，和变量的关系将逻辑变量符号转换为逻辑标号

反过来则得到逻辑图

波形图和真值表的转换

这里暂时空缺

逻辑函数两种标准形式

1 最小项

  在n变量逻辑函数中，若m为包含n个因子的乘积项，而且这n个变量均以原变量或反变量的形式在m中出现一次，则称m为该组变量的最小项。

最小项编号

  以三变量为例

  我们把变量的取值的所有组合由小到大排序，这样由小到大的每一个数会对应一个十进制数字我们就在m和这个十进制的组合当成最小项的标号如

最小项有如下特点

在任何输入变量的取值下，必有一个最小项，而且仅有一个最小项的值为1

全体最小项的和为1

具有相邻两个最小项之和可以合并成一项，消除一对因子

若两个最小项只有一个因子不同，则称这两个最小项相邻

逻辑函数最小项之和形式

　首先将给定函数化为，若干项乘积项之和的形式，然后在利用基本公司A+A‘ = 1 将每个乘积项中的因子补全，这样就可以将与或的形式，化为最小项标准之和的形式，

如

逻辑函数形式变换

逻辑函数化简方法

1 公式法化简

逻辑函数最简式

 包含乘积项最少，而且每个乘积项里的因子也不能在减少，则称此逻辑函数为最简式子

1 并项法  AB+AB‘ = A

2 吸收法  A+AB = A

3 消项法 AB +A‘C + BCD = AB + A‘C

4 消因子法  A +A‘B = A +B

5 配项法 利用 A+A = A      A+A‘ = 1

 卡诺图化简法

1 逻辑函数卡诺图表示方法

 把表达式中所有最小项以逻辑相邻的形式和几何相邻的形式连接起来就构成卡诺图

用卡诺图表示逻辑函数

当我们拿到某个逻辑函数时候

第一步应该将逻辑函数化为最小项之和的形式

第二步根据变量的个数画出卡诺图

第三步 填充卡诺图

如

如果是已知卡诺图求表达式

 第一步 找出卡诺图中所有1的项

第二步  将为1的项中为0的变量以反变量形式表示，为1的变量以原变量的形式表示，把每一项中的变量以与的形式组合起来

第三步  将第二步的所有与的组合式在以或的形式组合起来

用卡诺图化简逻辑函数

化简基本原理

  　　 具有相邻最小项可以合并，并消去不同因子。

 　　1 合并最小项原则

           如果相邻的因子合并后只剩下公共因子

           在组成合并项的时候只能以2个4个6个8个项一起合并

卡诺图化简步骤

1 将函数化简为最小项之和的形式

2 画出表示该函数的卡诺图

3 找出卡诺图的相邻项

4 选取化简后的乘积项

例

化简卡诺图中的0先求出Y‘的化简结果，然后在将Y’求反而得到Y

具有无关项的逻辑函数及其简化

约束项，任意项，和逻辑函数中的无关项

约束变量表示符合某种特定条件的的变量，比如自然数