设$f(x)$于$[0,1]$上严格单调递减，且$f(0)=1,f(1)=0$,证明:

$$\int_{0}^{1}f^{n}(x)dx \sim \int_{0}^{\delta}f^{n}(x), n\to \infty$$

其中任意$\delta \in [0,1]$.

解答： 注意到
$$\int_{0}^{1}f^{n}(x)dx=\int_{0}^{\delta}\left(\frac{f(x)}{f(0)}\right)^{n}dx+\int_{\delta}^{1}\left(\frac{f(x)}{f(0)}\right)^{n}dx$$

对右端第二项积分 $I_{2}$ 放缩
$$I_{2}\leq \left(\frac{f(\delta)}{f(0)}\right)^{n} \cdot (1-\delta)$$

放缩

$$\frac{I_{2}}{I_{1}}\leq \frac{f^{n}(\delta)\cdot (1-\delta)}{\int_{0}^{\delta/2}f^{n}(x)dx}\leq \left(\frac{f(\delta)}{f(\frac{\delta}{2})}\right)^{n}\cdot \frac{2(1-\delta)}{\delta}\to 0, n\to \infty$$

本题说明了 $\int_{0}^{1}f^{n}(x)dx,n\to \infty$主要集中在最大值$x=0$的任意邻域的积分。理论背景是Laplace渐进分析 （局部化原理）。

局部化原理（Laplace渐进估计方法）