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语义后承(semantic consequence),句法后承(syntactic consequence),实质蕴含(material implication / material conditional)

作者:罗心澄
链接:https://www.zhihu.com/question/21191299/answer/17469774
来源:知乎
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在数理逻辑系统中没有使用过技术分享,仅在数学证明中使用过。这个符号不是一个标准命题形式语言中的符号。而是一个日常语言中的符号,它的意义是模糊的。

在命题逻辑中,有三个有推出含义的符号容易混淆:
  • 语义后承(semantic consequence),符号是技术分享(\models)。语义后承在一般情况下是连接一个命题集合和一个命题。如果,在任何一种语义赋值下,只要命题集合技术分享中的每一个命题都为真,那么技术分享就一定为真,那么,我们就说技术分享技术分享的语义后承,记作技术分享
  • 句法后承(syntactic consequence),符号是技术分享(\vdash)。句法后承的用法和语义后承类似,也是连接一个命题集合和一个命题,如技术分享,表示的是技术分享可以通过句法证明的方式从命题集技术分享中得出。即,存在一个证明,使得每个前提要么是公理,要么是技术分享中的命题,而证明的结论是技术分享。具体来说,一个证明是一个命题序列,其中每个命题要么是公理,要么是前提,要么是由前面的命题通过证明规则得到的。其中最后一个称为结论。
  • 实质蕴含(material implication / material conditional),符号是技术分享(\rightarrow) 。实质蕴含是一个命题逻辑中的二元算子,连接的是两个命题。在句法系统中,由 Hilbert 的前两条公理完全刻画,由第三条公理刻画它和否定的关系。[1] 在语义系统中, 我们说技术分享当且仅当技术分享或者技术分享。就是说,如果一个实质蕴含条件句成立,就是说,前件(上面的 p)为真的情况下,后件(上面的 q)不可能为假。[2]

除此之外没有别的常用的,并且经过形式定义的符号。至于技术分享,其实就是单纯表示推出,这种推出是没有严格定义的,一般情况下在简单的数学系统中,由于系统的强完全性和强可靠性[3],句法后承和语义后承等价,那么这时推出就同时都是两种推出。但是,据我看到 wiki 中的说法,技术分享只表示逻辑后承,但是没有具体区分是语义后承还是句法后承,所以对于完全性和可靠性不成立的系统,这个符号就是模糊的。

当然,前面的语义后承和句法后承也不是数理逻辑系统中的符号,这是元语言符号。并且,在句法系统中不谈论真假,在语义系统中不谈论证明。

当然,在不同的符号系统中,逻辑学家可能会采用技术分享来替代技术分享(实质蕴涵),用技术分享替代技术分享(或者),用技术分享替代技术分享(且),用技术分享替代技术分享(非,否定)。但是我不太清楚到底哪些人是用技术分享来表示什么。

[1] Hilbert 的公理系统可以写作三个公理模式加一个规则:
技术分享
技术分享
技术分享
为什么说是公理模式呢?因为这里的技术分享技术分享技术分享都是元语言中用来代表合式公式的符号。换而言之,这个系统中有无穷多条公理。
至于推理规则,就只有一个 MP 规则:技术分享,中间的技术分享表示证明系统中的推出,并且,这里的技术分享技术分享也都是元语言中代表合式公式的符号。

这种情况下,如果我们要证明技术分享(从空集出发能够推出,即表示在系统内可证),那么我们要写出如下命题序列:
  1. 技术分享(公理 1)
  2. 技术分享(公理 2)
  3. 技术分享(1、2,MP 规则)
  4. 技术分享(公理 1)
  5. 技术分享(4、3,MP 规则)

[2] 但是在语义系统中,如果我们要说明技术分享(即,是空集的语义后承,或者说,是永真的)。那么我们只需要说明,由于在 p 为真和 p 为假的情况下,根据实质蕴含算子的语义规则,技术分享当且仅当技术分享或者技术分享,我们都能得到技术分享为真。因此,我们会说这个公式是空集的语义后承。

[3] 强完全性:对于任意的公式集合技术分享,对于任意的公式技术分享,如果技术分享,那么技术分享 。强可靠性:对于任意的公式集合技术分享,对于任意的公式技术分享,如果技术分享,那么技术分享。而弱完全性是,方式为真的公式都是可证的;弱可靠性是,凡是可证的公式都是为真的。 在有完全性和可靠性的基础上,没有必要在实际运用中区分两种推出。
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编辑于 2013-06-12
 
作者:王晓宇
链接:https://www.zhihu.com/question/21191299/answer/30108436
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“语义后承”的后面是可以接一个命题集合的。只要后面集合中一个命题被满足就行。

下面我说下“=>”的意义。在数理逻辑中,它定义了Sequence这个概念,比如技术分享就是一个Sequence,其中前后都是有限命题集合。不过它表示一个推理过程,这个过程可能是真,可能是假,要验证一个Sequence的真伪就要用Sequence Calculus进行推导,直到推出的每一个原子命题都为真。具体的推到规则在 中的第一章(命题逻辑)和第四章(谓词逻辑),当然谓词逻辑的推导过程要复杂一些。

另外需要注意的是,这是一个语义上的推倒,只不过在谓词逻辑和命题逻辑中,语义和语法是等价的(在我发的课件中Satz 4.6中描述的完整性)。相应的,要验证一个Sequence Calculus的正确性,只能通过找对应的Interpretation。

还有一个需要强调的是在谓词逻辑上因为技术分享技术分享可能存在多中推倒可能,所以只要有一个推导出的全是原子Sequence,那么这个Sequence就是正确的。

最后总结一下,技术分享是语义上的满足(一定正确的),技术分享是语法上的满足(正确的),技术分享只是一个推导过程,正确性需要验证。
 

有两个世界,一个是语义世界,一个是语形世界。

前者是语义世界的推倒,后者是语形世界的推导。

举例:将语义世界理解为我们所生活的现实世界,语形世界则可以是一门描述这个现实世界的语言,例如英语,它是一个由字母和语法规则构成的形式系统,两者在个体上的对应体现为现实的苹果和单词“Apple”。


一些重要的定理正是证明这两个世界的对应性,例如,按照英语的字母和语法规则推出单词Dog,则现实世界能够推出有一个实物与其对应,这应该是完全性(记不清楚了)。


作者:杨建
链接:https://www.zhihu.com/question/21191299/answer/29954947
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技术分享

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