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堆--LogN的数据结构

我们这里的堆是指用来表示元素集合的一种数据结构

一个二叉树是一个堆是由堆的两个性质决定的(以小根堆为例)

1:任何节点的值都小于或等于其子节点的值

2:该二叉树最多在两层上具有叶节点,其中最底层的叶节点尽可能的靠左分布

我们可以从数学上约束这两个性质

x[i/2]<=x[i](2<=i<=n)

从这个性质我们可以定义heap(l,u):x[i/2]<=x[i](2l<=i<=u)

下面我们考虑两种情况:

1:当x[1,...n-1]是堆时,在x[n]中放置一个任何的元素可能无法产生heap(1,n)

2:当x[1...n]是一个堆时,给x[1]分配一个新值得到heap(2,n),如何得到heap(1,n)

现在我们来探讨这两个问题:

x[n]即为图中带圈的元素,该元素一直往上与父节点交换,知道该节点的值大于等于其父节点(或者位于树根)为止

如果过程中heap(1,n-1)为真,那么heap(1,n)为真

void siftup(int n)//sift 筛选{    int i=n;    while(true) {        if(i==1) break;        int p=i/2;        if(x[p]<=x[i]) break;        swap(i,p);        i=p;    }}

 

x[1]即为图中带圈的元素,x[1]向下筛选,直到它没有子节点或者小于等于它的子节点

void siftdown(int n){    int i=1;    while(true) {        int c=2*i;        if(c>n) break;//no child node        if(c+1<=n)//c+1 is the right child,c+1<=n,i has right child            if(x[c+1]<x[c]) c++;//select lesser one        //c is the lesser child        if(x[i]<=x[c]) break;        swap(c,p);        i=c;    }}

 

通过解决这两个问题,我们实现了给堆增加一个元素或者删除最小的元素(最小堆)

现在我们考虑用堆的这两个操作来实现另一个数据结构--优先级队列

优先级队列(priority queue) 是0个或多个元素的集合,每个元素都有一个优先权,对优先级队列执行的操作有(1)查找(2)插入一个新元素 (3)删除

一般情况下,查找操作用来搜索优先权最大的元素,删除操作用来删除该元素 。对于优先权相同的元素,可按先进先出次序处理或按任意优先权进行。

如果用我们上面讨论的最小堆来实现的话,那么对应的操作如下:

查找:返回x[1]

插入:插入新元素是将n+1,然后将新元素放在x[n]处,这样我们就具备了调用siftup的前提:heap(1,n-1)

删除:由于是最小堆,x[1]即为优先权最高的元素,删除x[1],我们可以将x[n]移动到x[1]并将n-1,这样集合中的元素都在x[1..n]中了,并且heap(2,n)为真,那我们就可以调用siftdown了

template<class T>class priqueue{private:    int n,maxsize;    T *x;    void swap(int i,int j){ T t = x[i];x[i]=x[j];x[j]=t;}public:    priqueue(int m)    {        maxsize=m;        x= new int[maxsize+1];        n=0;    }    void insert(T t)    {        int i,p;        x[++n]=t;        for(i=n;i>1 && x[p=i/2]>x[i];i=p) swap(i,p);    }    T extractmin()    {        int i,c;        T t = x[1];        x[1]=x[n--];        for(i=1;(c=2*i)<=n;i=c)        {            if(c+1<=n&&x[c+1]<x[c])                c++;            if(x[i]<=x[c]) break;            swap(i,c);        }        return t;    }    ~priqueue();    };

 

优先级队列的实现为我们提供了一种简单的向量排序算法:首先在优先级队列中依次插入每个元素,然后排序删除它们

然而这种想法需要额外的一个数组的内存,但我们分析可知,是可以在一个数组上操作的,想法如下:

第一阶段:在原数组上建立堆,

第二阶段:使用堆来建立有序序列,由于x[1]是最小的元素,交换x[1]和x[n--],然后把新的顶部元素向下筛选来重新获得堆性质,循环。

不过这样得到的是一个降序的有序序列,如果要得到升序的有序序列,我们要使用最大堆而不是最小堆

下面是实现的最小堆排序的代码:

#include <iostream>#include "stdlib.h"#include "time.h"using namespace std;int x[101]= {0};int co=0;void swap(int f,int s){    int temp=x[f];x[f]=x[s];x[s]=temp;    co++;}void siftup(int n)//sift 筛选{    int i=n;    while(true)     {        if(i==1) break;        int p=i/2;        if(x[p]<=x[i]) break;        swap(i,p);        i=p;    }}void siftdown(int n){    int i=1;    while(true) {        int c=2*i;        if(c>n) break;//no child node        if(c+1<=n)//c+1 is the right child,c+1<=n,i has right child            if(x[c+1]<x[c]) c++;//select lesser one        //c is the lesser child        if(x[i]<=x[c]) break;        swap(c,i);        i=c;    }}int main(int argc, char const *argv[]){    srand(unsigned(time(NULL)));    for(int i=1;i<101;i++)     {        x[i]=rand()%100;        cout<<x[i]<<" ";    }    cout<<endl;    //sort    for(int i=2;i<=100;i++) siftup(i);    for(int i=100;i>=2;i--)    {        swap(i,1);        siftdown(i-1);    }    for(int i=1;i<101;i++)     {        cout<<x[i]<<" ";    }    cout<<endl<<co;    return 0;}

 

堆--LogN的数据结构