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HDU 5608 function
Description
已知\(N^2-3N+2=\sum_{d|N} f(d)\),求\(\sum_{i=1}^nf(i),n\leqslant 10^9\)
Solution
杜教筛+莫比乌斯反演...
入门题...
令\(g(n)=n^2-3n+2\)..
那么\(\sum_{i=1}^ng(n)=\sum_{i=1}^n\sum_{d\mid n} f(d)=\sum_{i=1}^niS(\lfloor\frac{n}{i}\rfloor)\)
所以\(S(n)=\sum_{i=1}^ng(n)-\sum_{i=2}^niS(\lfloor\frac{n}{i}\rfloor)\)
第一个式子可以用平方数和什么的求一下...
然后预处理\(10^6\)...
因为\(g(n)=\sum_{d\mid n}f(d)\),反演一下...
\(f(n)=\sum_{d\mid n}\mu(d)g(\frac{n}{d})\)...
欧拉筛...这样就可以\(n\log n\)预处理了...
Code
#include <bits/stdc++.h>using namespace std;typedef long long ll;const int N = 1000050;const ll p = 1e9+7;ll Pow(ll a,ll b,ll r=1) { for(;b;b>>=1,a=a*a%p) if(b&1) r=r*a%p;return r; }ll inv2=Pow(2,p-2),inv6=Pow(6,p-2);ll S2(ll n) { return n*(n+1)%p*(2*n+1)%p*inv6%p; }ll S1(ll n) { return n*(n+1)%p*inv2%p; }ll S1(ll l,ll r) { return S1(r)-S1(l-1); }ll g(ll n) { return (n*n%p-3*n+2+p)%p; }int cp,pr[N],b[N],mu[N];ll f[N];void pre(int n) { mu[1]=1; for(int i=2;i<=n;i++) { if(!b[i]) pr[++cp]=i,mu[i]=-1; for(int j=1;j<=cp && i*pr[j]<=n;j++) { b[i*pr[j]]=1; if(i%pr[j]) mu[i*pr[j]]=-mu[i]; else break; } } for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=i;j<=n;j+=i) f[j]=(f[j]+g(i)*mu[j/i]%p+p)%p; for(int i=1;i<=n;i++) f[i]=(f[i-1]+f[i])%p;}map<int,int> mp;ll S(ll n) { if(n<=1000000) return f[n]; if(mp.count(n)) return mp[n]; ll fn=((S2(n)-3*S1(n)+2*n)%p+p)%p; for(int i=2,j;i<=n;i=j+1) { j=n/(n/i); fn=(fn-(j-i+1)*S(n/i)%p+p)%p; }return mp[n]=fn;}int main() { int T,n; for(pre(1000000),scanf("%d",&T);T--;) { scanf("%d",&n); printf("%lld\n",S(n)); } return 0;}
HDU 5608 function
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