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hdu 2824 The Euler function(欧拉函数)

题目链接:hdu 2824 The Euler function

题意:

让你求一段区间的欧拉函数值。

题解:

直接上板子。

推导过程:

定义:对于正整数n,φ(n)是小于或等于n的正整数中,与n互质的数的数目。

    例如:φ(8)=4,因为1357均和8互质。

性质:1.p是质数,φ(p)= p-1.

   2.n是质数pk次幂,φ(n)=(p-1)*p^(k-1)。因为除了p的倍数都与n互质

   3.欧拉函数是积性函数,若m,n互质,φ(mn)= φ(m)φ(n).

  根据这3条性质我们就可以推出一个整数的欧拉函数的公式。因为一个数总可以写成一些质数的乘积的形式。

  E(k)=(p1-1)(p2-1)...(pi-1)*(p1^(a1-1))(p2^(a2-1))...(pi^(ai-1))

    = k*(p1-1)(p2-1)...(pi-1)/(p1*p2*...*pi)

    = k*(1-1/p1)*(1-1/p2)...(1-1/pk)

在程序中利用欧拉函数如下性质,可以快速求出欧拉函数的值(aN的质因素)

  若( N%==0&&(N/a)%==0)则有:E(N)= E(N/a)*a;

  若( N%==0&&(N/a)%!=0)则有:E(N)= E(N/a)*(a-1);

技术分享
 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 #define F(i,a,b) for(int i=a;i<=b;++i)
 3 using namespace std;
 4 
 5 const int N=3e6+7;
 6 int prime[N],phi[N];
 7 bool vis[N];
 8 void PHI(int n,int cnt=0)//O(n)预处理1到n的欧拉函数
 9 {  
10     F(i,2,n)
11     {  
12         if(!vis[i])prime[++cnt]=i,phi[i]=i-1;  
13         for(int j=1,k;j<=cnt&&(k=i*prime[j])<=n;j++)  
14         if(vis[k]=1,i%prime[j]==0){phi[k]=phi[i]*prime[j];break;}
15         else phi[k]=phi[i]*(prime[j]-1);
16     }  
17 }
18 
19 int main()
20 {
21     int a,b;
22     PHI(N-7);
23     while(~scanf("%d%d",&a,&b))
24     {
25         long long ans=0;
26         F(i,a,b)ans+=phi[i];
27         printf("%lld\n",ans);
28     }
29     return 0;
30 }
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