Description

7
3   8
8   1   0
2   7   4   4
4   5   2   6   5

(Figure 1)

Input

Output

Sample Input

5
7
3 8
8 1 0 
2 7 4 4
4 5 2 6 5

Sample Output

30

在上面的数字三角形中寻找一条从顶部到底边的路径，使得
路径上所经过的数字之和最大。路径上的每一步都只能往左下或
右下走。只需要求出这个最大和即可，不必给出具体路径。
三角形的行数大于1小于等于100，数字为 0 - 99

超级经典啊有木有，，理解动归必看啊有木有。。。

解题思路：
用二维数组存放数字三角形。
D( r, j) : 第r行第 j 个数字(r,j从1开始算)
MaxSum(r, j) : 从D(r,j)到底边的各条路径中，
最佳路径的数字之和。
问题：求 MaxSum(1,1)
典型的递归问题。
D(r, j)出发，下一步只能走D(r+1,j)或者D(r+1, j+1)。故对于N行的三角形：
if ( r == N)
MaxSum(r,j) = D(r,j)
else
MaxSum( r, j) = Max{ MaxSum(r＋1,j), MaxSum(r+1,j+1) } + D(r,j)

数字三角形的递归程序:

#include <iostream>
#include <algorithm>
#define MAX 101
using namespace std;
int D[MAX][MAX];
int n;
int MaxSum(int i, int j){
if(i==n)
return D[i][j];
int x = MaxSum(i+1,j);
int y = MaxSum(i+1,j+1);
return max(x,y)+D[i][j];
}

int main(){
int i,j;
cin >> n;
for(i=1;i<=n;i++)
for(j=1;j<=i;j++)
cin >> D[i][j];
cout << MaxSum(1,1) << endl;
}

比如：当我们在计算第三行长度时，因为8 1 0的产生都基于第四行的”7“这个位置，即的D[4][2],又在进行路径搜索时前面共有1*2*3条路径，这就会重复计算6*2次==12次。

考虑到如果能去除重复将会使得程序运行效率大大提高。那么具体怎么做呢？？？

如果每算出一个MaxSum(r,j)就保存起来，下次用
到其值的时候直接取用，则可免去重复计算。那么
可以用O(n 2 )时间完成计算。因为三角形的数字总
数是 n(n+1)/2

数字三角形的记忆递归型动归程序：

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define MAX 101
int D[MAX][MAX]; int n;
int maxSum[MAX][MAX];
int MaxSum(int i, int j){
if( maxSum[i][j] != -1 )
return maxSum[i][j];
if(i==n) maxSum[i][j] = D[i][j];
else {
int x = MaxSum(i+1,j);
int y = MaxSum(i+1,j+1);
maxSum[i][j] = max(x,y)+ D[i][j];
}
return maxSum[i][j];
}
int main(){
int i,j;
cin >> n;
for(i=1;i<=n;i++)
for(j=1;j<=i;j++) {
cin >> D[i][j];
maxSum[i][j] = -1;
}
cout << MaxSum(1,1) << endl;
}

递推型动归程序：

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define MAX 101
int D[MAX][MAX]; int n;
int maxSum[MAX][MAX];
int main() {
int i,j;
cin >> n;
for(i=1;i<=n;i++)
for(j=1;j<=i;j++)
cin >> D[i][j];
for( int i = 1;i <= n; ++ i )
maxSum[n][i] = D[n][i];
for( int i = n-1; i>= 1; --i )
for( int j = 1; j <= i; ++j )
maxSum[i][j] = max(maxSum[i+1][j],maxSum[i+1][j+1]) + D[i][j]
cout << maxSum[1][1] << endl;
}

没必要用二维maxSum数组存储每一个MaxSum(r,j),只要从底层一行行向上
递推，那么只要一维数组maxSum[100]即可,即只要存储一行的MaxSum值就
可以。

想一下：具体情形是这样的，依次选取相邻两个中最大的再加上D[i][j],那么新得到的数值将存储到数组中并覆盖这个相邻数的前一个，每经过一次i循环，数组被覆盖的数值逐渐减少，知道第二行相加覆盖第一行也就是第一个数组D[1].你会发现，只有数组中的第n个数是没有改变的，，

看代码：

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define MAX 101
int D[MAX][MAX];
 int n;
int maxSum[MAX];
int max(int a,int b)
{return a>b?a:b;}
int main() {
	int i,j;
	cin >> n;
	for(i=1;i<=n;i++)
		for(j=1;j<=i;j++)
			cin >> D[i][j];
		for(i = 1;i <= n; ++ i )
			maxSum[i] = D[n][i];
		for(i = n-1; i>= 1; --i )
			for(j = 1; j <= i; ++j )
				maxSum[j] = max(maxSum[j],maxSum[j+1]) + D[i][j];
				cout << maxSum[1] << endl;
				return 0;
}

看代码：

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define MAX 101
int D[MAX][MAX];
int n; int * maxSum;
int main(){
int i,j;
cin >> n;
for(i=1;i<=n;i++)
for(j=1;j<=i;j++)
cin >> D[i][j];
maxSum = D[n]; //maxSum指向第n行
for( int i = n-1; i>= 1; --i )
for( int j = 1; j <= i; ++j )
maxSum[j] = max(maxSum[j],maxSum[j+1]) + D[i][j];
cout << maxSum[1] << endl;
}

2. 确定状态
 在用动态规划解题时，我们往往将和子问题相
关的各个变量的一组取值，称之为一个“状
态”。一个“状态”对应于一个或多个子问题，
所谓某个“状态”下的“值”，就是这个“状
态”所对应的子问题的解。

2. 确定状态
所有“状态”的集合，构成问题的“状态空间”。“状态
空间”的大小，与用动态规划解决问题的时间复杂度直接相关。
在数字三角形的例子里，一共有N×(N+1)/2个数字，所以这个
问题的状态空间里一共就有N×(N+1)/2个状态。
整个问题的时间复杂度是状态数目乘以计算每个状态所需
时间。
在数字三角形里每个“状态”只需要经过一次，且在每个
状态上作计算所花的时间都是和N无关的常数。

2. 确定状态
用动态规划解题，经常碰到的情况是，K个整型变量能
构成一个状态（如数字三角形中的行号和列号这两个变量
构成“状态”）。如果这K个整型变量的取值范围分别是
N1, N2, ……Nk，那么，我们就可以用一个K维的数组
array[N1] [N2]……[Nk]来存储各个状态的“值”。这个
“值”未必就是一个整数或浮点数，可能是需要一个结构
才能表示的，那么array就可以是一个结构数组。一个
“状态”下的“值”通常会是一个或多个子问题的解。

3. 确定一些初始状态（边界状态）的值
以“数字三角形”为例，初始状态就是底边数字，值
就是底边数字值。

4. 确定状态转移方程
定义出什么是“状态”，以及在该 “状态”下的“值”后，就要
找出不同的状态之间如何迁移――即如何从一个或多个“值”已知的
“状态”，求出另一个“状态”的“值”(“人人为我”递推型)。状
态的迁移可以用递推公式表示，此递推公式也可被称作“状态转移方
程”。
数字三角形的状态转移方程:

能用动规解决的问题的特点
1) 问题具有最优子结构性质。如果问题的最优解所包含的
子问题的解也是最优的，我们就称该问题具有最优子结
构性质。
2) 无后效性。当前的若干个状态值一旦确定，则此后过程
的演变就只和这若干个状态的值有关，和之前是采取哪
种手段或经过哪条路径演变到当前的这若干个状态，没
有关系。

POJ 1163 The Triangle（经典问题教你彻底理解动归思想）