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名校联赛DAY.2A层第三题book（书）题解

2024-11-20 22:40:39   202人阅读

 书

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题目描述

书

book.in/.out

Hazel有n本书，编号1为n到 ，叠成一堆。当她每次抽出一本书的时候，上方的书会因重力而下落，这本被取出的书则会被放置在书堆顶。

每次有pi的概率抽取编号为i的书。她每次抽书所消耗的体力与这本书在这堆中是第几本成正比。具体地，抽取堆顶的书所耗费体力值为1 ，抽取第二本耗费体力值为2 ，以此类推。

现在 想知道，在很久很久以后（可以认为几乎是无穷的），她每次抽书所耗费的体力的期望值是多少。

最终的答案显然可以表示成a/b的形式，请输出a*(b^-1)模1e9+7的值。

【输入格式】

第一行一个整数n

接下来n行，每行两个整数ai，bi，代表抽取第i本书的概率是ai/bi

保证所有书的概率和等于1

【输出格式】

输出一行一个整数，代表期望值

【输入样例1】

2

227494 333333

105839 333333

【输出样例1】

432679642

【输入样例2】

10

159073 999999

1493 142857

3422 333333

4945 37037

2227 111111

196276 999999

190882 999999

142721 999999

34858 999999

101914 999999

【输出样例2】

871435606

【数据规模与约定】

对于30%的数据，1<=n<=10。

对于100%的数据，1<=n<=1000,0<=ai<=bi,bi!=0。

　　首先先吐槽一下这次考试，题目名字就不能正常一点吗？！

　　但是这道题确实不容小觑，堂堂名校联赛50多个选手竟然全部爆零，连一个拿暴力分的人都没有，当然包括本蒟蒻，只能呵呵。考试的时候都快绝望了，什么题啊，根本没思路，以为自己完了，想了两个小时，输出个样例完了，天知道大家都挂了。

　　然而，WQ大佬成功打出了暴力，然而只能干掉≤9的数据，然而最小的数据正好是10。2333，但还是orz。

　　其实这道题的正解真的很水，十分的水，水道比第二题水。

　　首先先科普一下，除法无法像加法减法乘法那样取模，在模意义下的除法a*(b^-1)=a/b=a*b的逆元怎么又是它？。

　　然后让我们把问题化简一下，如果我们把所有书分开来看的话答案就是拿每本书的期望体力乘以拿这本书的概率的总和，既然在这之中后者是已知的，那我们只要求出来这本书之上有多少本书的期望即可，那么，如果书a在书b之上，那么既然是由于翻了无数次那么a一定比b晚被拿出来，因此这个事件的概率就是a/（a和b被取出来的概率和），于是这道题就搞定了，最后不要忘了加上b自己就在第一个的概率。

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 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdlib>
 3 #include<cstdio>
 4 #include<cstring>
 5 #include<queue>
 6 #include<algorithm>
 7 #include<queue>
 8 #include<map>
 9 #include<cmath>
10 #include<set>
11 using namespace std;
12 int n,p=1e9+7;
13 long long exgcd(long long a,long long b,long long c){
14     if(a==0)return -1;
15     else if((c%a)==0) return c/a;
16     long long t=exgcd(b%a,a,((-c%a)+a)%a);
17     if(t==-1)return -1;
18     return (t*b+c)/a;
19 }
20 long long a[1005],b[1005];
21  
22 int main(){
23     scanf("%d",&n);
24     for(int i=1;i<=n;i++)
25     {
26         scanf("%lld%lld",&a[i],&b[i]);
27         b[i]=exgcd(b[i],p,1);
28         b[i]%=p;
29         a[i]*=b[i];
30         a[i]%=p;
31     }
32     long long ans=0;
33     for(int i=1;i<=n;i++)
34     {
35         long long an=0;
36         for(int j=1;j<=n;j++)
37         {
38             if(j==i) continue;
39             long long x=a[j],y=a[i]+a[j];
40             y=exgcd(y,p,1);
41             y%=p;
42             x*=y;
43             x%=p;
44             an+=x;
45             an%=p;
46         }
47         an++;
48         an*=a[i];
49         an%=p;
50         ans+=an;
51         ans%=p;
52     }
53     printf("%lld\n",ans);
54 //  while(1);
55     return 0;
56 }
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