经过x1与x2的两个点的直线/线段。
若集合C是仿射集，则它里面任意一些点的仿射组合还在集合里。

仿射集（仿射子空间）平移任意一个集合内的向量，都变成向量子空间。仿射空间和对应子空间的维数是一样的。用定义可得到为什么仿射空间平移一个向量得到了子空间。

线性方程组的解集是仿射集（定义证很容易），反过来，任意仿射集都可以被表示成Ax=b方程组的解集。与仿射集相关的子空间是Ax=0的一个解。

定义证仿射集和子空间的区别：点个数，系数，0

affC(集合C的仿射核）：由集合C所有点的仿射组合组成。是包含C的最小仿射集。其它含C仿射集会有一部分点不是C的仿射组合。

仿射集的维度和仿射核的维度一样的，我想是因为仿射核扩充那部分点也可以由仿射集C的实质“派生出来”，因此维度一样。

把整体空间退化到仿射核以后集合C的内点。退化空间的思想与条件概率类似。如三维空间中在xy平面的一正方形，本来对整个空间没有内点可言，但仿射集是二维xy平面，就有了相对内点。同样，本来它整个就是一边界，但相对边界只剩外面的一个框。

A的闭包是包含A的最小闭集，也就是包含A的所有闭集之交。与仿射核定义类似。闭包去除相对内点就是相对边界。

判断集合凸性就看两点相连线段上的点是否在集合内。

类似于仿射组合，给出了凸组合的定义，只不过这里要求系数非负。凸组合也被看成混合物或加权平均。

conv C定义与affC类似，凸核也是包含C的最小凸集。三个点的凸组合就是三角形。

由于凸组合每个系数非负且和为1，所以凸组合其实可以看成期望。当无穷多个点，且积分收敛时，更可以看成连续变量的期望。

原来2.3那边的图原来是肾形，求凸核，补充了一块。

锥是一个集合，满足非负齐次性。凸锥也是一个集合，既是锥，也是凸集。锥满足非负齐次即可，显然在径向也满足凸性。为了在角度向也满足凸性，杂糅径向也得在集合内。因此有了凸锥的定义。

锥组合也叫非负线性组合。凸锥（集合）:里面点的锥组合还在集合内。

锥包是包含集合C的最小凸锥。

锥组合，仿射组合，凸组合。凸锥，仿射集，凸集。仿射包，凸包，锥包。

凸锥一定包含原点。

子空间（90）是仿射空间（60）的子集，凸锥也没子空间分高。

线段是凸的，但不是仿射的。

射线是凸的，但不是仿射的。仿射要求任意两点连线都在集合内。当射线经过原点时，是一个凸锥。

任意一条直线都是仿射集合。因为通过集合内任意两点的连线还在集合内。如果经过原点，那么它就是一个子空间，因此也是凸锥。

所有子空间都是仿射的，也是凸锥。因为子空间对所有系数都满足，而仿射和凸锥只对特殊的系数满足，所以子空间要求更严，逼格更高。根据定义，仿射和凸锥谁的逼格更高是没办法比较的。都有自己达标对方不达标和对方达标自己不达标的情况。

同样，与凸性相比仿射性逼格更高。因为仿射对更多的系数有要求。

空集，单点，整个n维实空间都是仿射集合。

超平面法向量不为0.a是法向量，应该是a和b共同决定了位移大小。平面位移就是那个x0，x0对应原点，a就是在x0处的法向量。一连线一垂直，完事！

欧几里得球可由定义得到，也可由变换得到。欧几里得球是凸集。

单位球的P二次范数得到椭球表达式。

正定矩阵一定非奇异。

P为半正定时有可能有退化的椭球。

范数球与范数锥。欧几里得范数锥叫二阶锥。

二阶锥也叫二次锥，也叫冰淇淋锥，还叫洛伦兹锥。

由凸集定义和三角不等式知道，范数球和范数锥都是凸集。

多面体是有限个半空间和超平面的交集。

非负象限是有限个半空间的交集，因此是多面体。多面体都是凸的。

简单形是一类重要的多面体，K+1个顶点是仿射独立的。比如三角形的三个顶点就是仿射独立的。是K维的，叫K维简单形。

简单形就是这K+1个仿射独立的点的凸组合。

一维简单形是线段，二维是三角形和它内部，三维是三角锥。

单位简单形：由0，e1,e2...组成，是n维的：特点是每个元素非负，且所有元素之和小于等于1.

概率简单形：由e1...组成，是n-1维的。特点每个元素非负，且所有元素之和为1.

单位简单形与概率简单形的x坐标都有n个元素，所以概率简单形的每个元素表示在不同坐标的概率。

简单形也可以用不等式，等式集合来表示。

凸性：直接用定义，或间接的用简单的凸集来证：凸集的交集还是凸集，凸集在仿射函数的作用下还是凸集，凸集在透射函数和线性分解函数的作用下还是凸集。

无穷多的凸集的交集还是凸集。这也是多面体是凸集的原因。

对每一组特定的取值，二阶锥都是一个半空间，所以相当于无限半空间的交集，必然是凸集。

例子2.8很nice!给定一个t，就相当于一个常数，每个t是两个半空间的交集。所有t的交集就得到了最后。

每一个闭合凸集都是半空间的交集，一个闭合的凸集是所有包含它的半空间的交集。一般个数是无限的，这样才能把棱角磨圆。

函数是仿射函数，愿像凸集，则像凸集；像凸集，逆像也凸集，但前提原函数是仿射函数。

凸集在某一个坐标的映射还是凸集。要证明凸集，只能这一个坐标不变化，其余都可以变化的前提下讨论。

两个集合相加是各取一个点，再加和。

两个集合相乘是笛卡尔积，组成一个元素对。两个集合是凸的，它们的笛卡尔积也是凸的。

部分元素之和可以作为两个集合相交和相加的拓展，。

正像是把x代入，逆像直接按照原像的式子分解得到

凸集在透射函数的作用下还是凸集。直觉上就是凸集透过小孔成像还得到凸集。

线性函数与仿射函数都是特殊的线性分解函数。

2.4 在凸锥基础上加三个条件（闭合，不含线，非空内点）变成proper cone(真锥？）proper cone用来定义泛化不等式。

非负象限 半正定矩阵 非负多项式都是proper cone

minimum全在右上 minimal左下没有

分离平面定理；

两个集合间的距离，是最近那两点之间的距离。

分离平面的逆定理：任意两个凸集，至少一个是开的，当且仅当存在一个超平面时才是分离的。

非空凸集的任意一点，都存在一个超平面。

即使原锥非凸，对偶锥也是凸的。子空间的对偶锥是它的正交补。

对偶锥是闭合的凸锥。

真锥的对偶锥还是真锥。

最后那一部分没看懂。。。

第二章