第四章：静态优化模型（微分法建模，求导得目标函数最优解）

现实世界中普遍存在着优化问题；静态优化模型指求解问题的最优解；重点是如何根据目的确定恰当的目标函数；一般使用微分法。

1.    存储模型：存在某种矛盾，寻找平衡最优点！

a)      问题描述：配件厂为装配生产若干中产品，轮换产品时因更换设备要付生产准备费，产量大于需求时因积压资金要付存储费，该场生产能力非常大，即所需数量可在很短时间内产出。

b)     问题存在：今已知某产品的日需求量为100件，生产准备费5000元，存储费为每日每件1元。试安排该产品的生产计划，即多少天生产一次（生产周期）？每次产量多少，使总费用最少。

c)      要求：不止回答问题，而且要建立生产周期、产量与需求量、准备飞、存储费之间的关系！

d)     问题分析：

首先，对于我们来说，应该先找到问题所在，即造成当前无法做决定的原因是什么？

这道题的原因为：

周期短，产量小：存储费少，但准备费多。

周期长，产量大：准备飞少，但存储费多。

e)      分析求解：

                     i.           模型假设

                   ii.           目标函数：每天费用的平均值最小

                  iii.           模型建立：离散问题连续化

                  iv.           模型求解：得出目标函数，求解当周期T为多少时，可以获得最优解，可以使用matlab等软件进行求解！

                   v.           模型分析：说出T的变化讲引起目标函数如何进行变化！

f)       进一步建模：如允许缺货时又需要怎样进行建模？

2.    森林救火

a)      问题描述：森林失火后，要确定派出消防队员的数量

b)     矛盾：

                     i.           队员多，森林损失小，但救援费用大；

                   ii.           队员少，森林损失大，但球员费用小。

综合考虑损失费和救援费，确定队员数量。

c)      问题分析：

                     i.           合理假设：火的蔓延方式等；

                   ii.           模型建立了，列出总费用的函数模型；

                  iii.           利用数学软件进行模型求解；

                  iv.           进行解释。

 与存储模型十分像，都是求解存在某种矛盾情况下的最优解。

3.    最优价格

a)      问题描述：根据产品成本和市场需求，在产销平衡条件下确定商品价格，使利润最大。

b)     问题假设：产量等于销量：x；收入与销量成正比；销量依于价格p是减函数；等

c)      建模与求解

d)     如果进一步分析，可以少一些之前的假设，进行另外的一些分析建模。

4.    消费者均衡：

a)      问题描述：消费者对甲乙两种产品的偏爱程度用无差别的曲线族表示，问他如何分配一定数量的前，购买这两种商品，以达到最大的满意度？

一样是最优化的问题，不多做解释了，，，

b)     可以进行的优化：考虑如何推广到m（>2）种商品的情况！

5.    冰山运输

a)      问题描述：某地区缺水，淡化海水的成本为每立方米0.1英镑；专家建议从9600千米远德南极用拖船运送冰山，取代淡化海水，试从经济的角度研究冰山运输的可行性。

b)     建模准备：加入进行运输，则需要的一系列的成本计算，最终建模求得成本表达式。

c)      之后进行建模分析。

d)     结论分析：只有当计算出的成本显著低于淡化海水的成文时，才考虑其可行性！

重点在于建模时，要充分考虑不可忽略的种种因素：如冰山融化、燃料、租凭费用等。

总结：

1.    存储问题：存在某种实际矛盾，不知如何安排。需要寻找平衡最优点！

2.    森林救火：与存储问题一样，都是解决某种存在矛盾。

3.    最优价格：一样，求解最优问题，重在前提假设要合理。

4.    消费者均衡：考虑推广优化。

5.    冰山运输：考虑不可忽略的多种因素损失。

数学建模学习笔记（第四章：5个静态优化实例分析学习）